"Demasiado simple ser verdad"

Question

Como indica el título, esta pregunta es acerca de las "pruebas" de la verdad de las declaraciones que son de corto y/o vea elegante, pero están equivocados.

Me refiero como ejemplo de Cayley-Hamilton teorema, que sostiene que para que un $n\times n$ matriz $\Bbb C$, e $\chi$ su polinomio característico, a continuación,$\chi(A)=0$. La conocida prueba falsa consiste en una sustitución de $\lambda=A$$\chi(\lambda)=\det(A-\lambda I)$, lo cual no está permitido.

Entonces, yo creo que la escritura de una gran lista podría ser muy interesante, donde cada respuesta deberá contener:

• la declaración;
• la prueba falsa;
• una explicación de la brecha en la prueba;
• si es posible, una referencia a una buena prueba.

Cada uno puede referirse a cualquier campo de las matemáticas. Será bueno tener un ejemplo en todos los campos: análisis real, teoría de la medida, etc...

Answer 1

Mi favorito es el siguiente:

Deje $\pi$ ser racional, y escribir $\pi = a/b$ en el menor plazo. Deje $p \neq 2$ principal no dividiendo $a$. A continuación, en $\Bbb{Q}_{p}$, tenemos

$$ 0 = \sin(pb\pi) = \sin(pa) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(pa)^{2n+1} \equiv pa \ (\mathrm{mod} \ p^2), $$

lo cual es absurdo, ya $a \not\equiv 0$ mod $p$. Por lo tanto, $\pi$ es irracional.

El hueco fundamental en este demasiado-bueno-a-ser una prueba de ello es que un $p$-ádico de alimentación de la serie no puede converger a la misma valor como en el real campo de caso, incluso la serie se compone de sólo términos racionales. Por lo tanto el valor de $\sin x$ no tienen por qué coincidir en $\Bbb{R}$$\Bbb{Q}_{p}$.

Esta falsa prueba aparece en Neal Koblitz del p-ádico Números, p-ádico de Análisis, y Zeta-Fnctions.

Answer 2

Lo que tengo en mi mente es Wilson del teoremaque dice que si $p$ es un número primo, entonces $$(p-1)!\equiv -1 \pmod p.$$

La prueba falsa que he aprendido es la siguiente: Desde $p=p-1+1$, tomando factorial en ambos lados, tenemos $$p!=(p-1+1)!=(p-1)!+1!=(p-1)!+1.$$ Ahora tomando mod $p$, obtenemos $$0\equiv(p-1)!+1 \pmod p.$$

Por supuesto, la "prueba" de que está mal. La brecha se produce porque factorial no es la distribución en el sentido de que $(a+b)!\neq a!+b!$ en general. De hecho, la misma "prueba" trabajaría sin asumiendo $p$ es primo.

Answer 3

Hay un libro entero sobre eso que se extienden sobre varios campos de las matemáticas. Falacias matemáticas, defectos y fraudulento por Edward J. Barbeau. ¡Me encanta! Y para todas las "pruebas", se encarga de los tres primeros de sus balas.

Answer 4

No hay "prueba" simple del teorema de cuatro colores:

http://www.Superliminal.com/4color/4color.htm

Lamentablemente todavía no puedo ver la diferencia en él.