invertible si y sólo si es biyectiva

Question

Necesito demostrar que una transformación lineal $T \in L(W,W)$ es invertible si y sólo si $T$ es biyectiva.

No estoy seguro de cómo hacerlo, ¿alguien puede darme una idea de por dónde empezar? Sé que es inyectable si $T_u = T_w$ aka null $T = {0}$ , suryectiva si el rango $T = W$ y es invertible si existe una inversa que le da la identidad

Answer 1

Desde la perspectiva de la categoría, la definición natural para $T$ para ser invertible aquí es que existe $S\in L(W,W)$ tal que $S\circ T=T\circ S=I$ .

Como siempre, $S\circ T=I$ implica que $T$ es inyectiva, y $T\circ S=I$ implica que $T$ es sobreyectiva. Así que $T$ invertible implica que es biyectiva.

Supongamos ahora que $T$ es biyectiva. Entonces tenemos $S=T^{-1}$ que se ajuste a la definición anterior, siempre que podamos demostrar que pertenece a $L(W,W)$ .

Escribamos que $T$ es lineal, es decir $$T(\lambda x+\mu y)=\lambda T(x)+\mu T(y)$$ para todos $x,y\in W$ y $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ . Esto es cierto en particular para $x=T^{-1}(x')$ y $y=T^{-1}(y')$ para todos $x',y'\in W$ . Así que $$ T(\lambda T^{-1}(x')+\mu T^{-1}(y'))=\lambda TT^{-1}(x')+\mu TT^{-1}(y')=\lambda x'+\mu y'. $$ Sólo queda aplicar $T^{-1}$ al LHS y al RHS de lo anterior. Esto demuestra la linealidad de $T^{-1}$ .

Así que sí, la biyectividad es equivalente a la invertibilidad en $L(W,W)$ .