Un operador lineal $A$ se llama nomal si $\mathcal{D}(A)=\mathcal{D}(A^{*})$ y $\lVert A\phi\rVert =\lVert A^{*}\phi\rVert$ por cada $\phi\in \mathcal{D}(A)$ . Demuestre que los operadores normales son cerrados. Aquí no estoy asumiendo que $A$ está acotado ni definido en todo el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ .
Desde $A^*$ se define sabemos que $\mathcal{D}(A)$ es denso y como $\mathcal{D}(A)=\mathcal{D}(A^*)$ tenemos que $A^*$ está densamente definido esto implica que $A$ se puede cerrar. A partir de la hipótesis sé que para cualquier $\phi\in \mathcal{D}(A)$ que $\langle A\phi,A\phi\rangle = \langle A^*\phi,A^*\phi\rangle$ esto da que $\langle A^*A\phi,\phi\rangle=\langle A^{**}A^{*}\phi,\phi\rangle $ aquí estoy asumiendo que $\phi\in \mathcal{D}(A^{**}A^{*})\cap \mathcal{D}(A^{*}A)$ . Pero ahora no estoy seguro de a dónde ir desde aquí.
