¿Cómo podría mostrar que no hay ninguna métrica en el espacio de funciones mensurables en $([0,1],\mathrm{Lebesgue})$ tal que una secuencia de funciones converge a.e. iff que la secuencia converge en la métrica?
Respuestas
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Davide Giraudo
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De hecho, la casi convergen no corresponde a cualquier topología. Utilizamos el siguiente hecho:
Deje $(X,\mathcal T)$ un espacio topológico. Una secuencia $\{x_n\}$ converge a $x$ $(X,\mathcal T)$ si y sólo si para todos los subsequence $\{x_{n_k}\}$ podemos extraer una convergencia de subsequence a $x$.
Considere la posibilidad de una secuencia $\{X_n\}$ de las variables aleatorias que converge en probabilidad, pero no casi seguramente a $X$. Para cada subsequence de $\{X_n\}$, podemos extraer una en casi todas partes, la convergencia de larga, que producen una contradicción.
Pero no es una métrica para la convergencia en probabilidad, es decir, $$\delta(X,Y):= \int_{ \Omega}\dfrac{|X(\omega)-Y(\omega)|}{1+|X(\omega)-Y(\omega)|}d\,\mathbb P(\omega).$$
pgassiat
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Joe Lencioni
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Al añadir a las otras respuestas (ya que no fue explícitamente indicado): hay una secuencia en $L_1[0,1]$ que converge en medida pero no pointwise a.e.
Por ejemplo:
$f_1(x)=1$,
$f_2(x)= \chi_{[0,1/2]}$
$f_3(x)=\chi_{[1/2,1]}$
$f_4(x)=\chi_{[0,1/4]} $
$f_5(x)=\chi_{[1/4,1/2]} $
$f_6(x)=\chi_{[1/2,3/4]} $
$f_7(x)=\chi_{[3/4,1]} $
$f_8(x)=\chi_{[0,1/8]} $
$\phantom{f_8(x)}\ \ \vdots$
Donde $\chi_A$ es la función del indicador en $A$.
$\{f_n\}$ converge para medir a 0 pero no converge pointwise a.e.
Joel
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No hay ninguna topología en $L^1([0,1])$ que describe la noción de "convergencia casi por todas partes".
Bien, solo noté que esto ha sido contestado hace unos segundos. De todos modos, me gustaría señalar la nota agradable "Convergencia casi por todas partes es no topológico" que se puede leer aquí...
