Gradiente en geometría diferencial

Question

Soy un estudiante graduado en física tratando de aprender geometría diferencial en el mío propio, de un libro escrito por Fecko.

Se define el gradiente de una función como:

$ \nabla f = \sharp_g df = g^{-1}(df, \cdot ) $

Esto hace que suficiente sentido para mí. Sin embargo, cuando trato de calcular el gradiente de una función en coordenadas esféricas:

$ g^{-1} (df, \cdot) = g^{ij} \partial_i(df) \otimes \partial_j = g^{ij} \partial_i f \partial_j $

Por lo que el $j^{th}$ componente del gradiente de f es:

$ g^{ij} \partial_if $

Los coeficientes del tensor métrico son:

$ g = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2{\theta} \end{pmatrix} $

Así que la inversa de una matriz diagonal ($g^{-1}$) es una matriz diagonal cuyas entradas son los recíprocos de la matriz original:

$ g^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^{-2} & 0 \\ 0 & 0 & r^{-2} \csc^2{\theta} \end{pmatrix} $

Así que parece que nuestra expresión no coincide con el cálculo vectorial definición del gradiente en coordenadas esféricas. Por ejemplo, la geometría diferencial nos da un $\hat{\theta}$ componente de $ r^{-2} \partial_\theta f$ pero vectorial cálculo nos dice que esto es $ r^{-1} \partial_\theta f$.

Donde está mi error?

Answer 1

Los componentes de la fórmula $g^{ij} \partial_j f$ se refiere a que se toman con respecto a la natural espacio de la tangente base inducida por el sistema de coordenadas; estos vectores son a menudo denotado por $(\partial/\partial r, \partial/\partial \theta, \partial/\partial \phi)$, y difieren de las ortonormales marco de $(\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\phi})$ por la costumbre de la normalización de los factores de $1$, $r$, $r \sin\theta$, respectivamente.

EDIT: Vamos a pensar en términos de cálculo vectorial. En ese caso, su colector podría ser una superficie en $\mathbf{R}^3$, o todo el espacio $\mathbf{R}^3$ (pero se describe en un sistema de coordenadas curvilíneo). El vector de posición de un punto en el colector está escrito como $\mathbf{r}(s,t)$ (para una parametrización de la superficie) o $\mathbf{r}(r,\theta,\phi)$ (para todo el espacio en coordenadas esféricas). Los vectores tangente a la superficie en $\partial\mathbf{r}/\partial s$$\partial\mathbf{r}/\partial t$. Para todo el espacio, tiene un marco de campos vectoriales $(\partial\mathbf{r}/\partial r, \partial\mathbf{r}/\partial \theta, \partial\mathbf{r}/\partial \phi)$ que son ortogonales en cada punto (esto es lo que significa cuando decimos que esféricas de coordenadas un sistema de coordenadas ortogonales), pero no están normalizados. Es que estos de la onu normalizada de los vectores que en la geometría diferencial se conoce como $(\partial/\partial r, \partial/\partial \theta, \partial/\partial \phi)$. (En el resumen de la configuración, el colector no está incrustado en un espacio Euclidiano, por tanto, no tiene sentido hablar de un vector de posición, y por lo tanto el $\mathbf{r}$ se omite de la notación. También, como hemos visto, probablemente, los vectores se define a menudo como el primer fin de operadores diferenciales, y esta notación se ajusta a esa manera de pensar.) Consigue $\hat{r}$ etc. al normalizar estos vectores.

Answer 2

En Cálculo vectorial se calcula generalmente en términos de componentes orthonormal (en lugar de coordinar) de campos del vector. Este material se examina en detalle un poco más adelante en el libro :-) Vea las páginas 183-4 (sección 8.5). Encontrar expresiones explícitas en ambos componentes. ¡Buena suerte!