¿Cómo aplicar el lema de Borel-Cantelli?

Question

Suponga que se nos da una secuencia de funciones continuas $f_n(x)$$[0,1]$.

Cómo mostrar la existencia de una secuencia $a_n$ y un conjunto $A$$\mu(A^c)=0$, de modo que

$$ \lim_{ n\to \infty} \frac{f_n(x)}{a_n}=0, ~~ \forall x\in A. $$

Puedo elegir una secuencia $a_n$ tal que $ \mu (\phi_n) \leq 1/2^n$ donde $$ \phi_n := \left\{ x: \frac{|f_n(x)|}{a_n} \geq \frac{1}{n} \right\}. $$

Desde $\sum_n \mu (\phi_n) < \infty$, el uso de Borel-Cantelli Lema tenemos $\mu(\limsup_n \phi_n)=0$.

Parece bien si nos dicen que $\limsup_n \phi_n = A^c$. ¿Cómo podemos escribir claramente en todos los detalles? También, ¿cómo podemos asegurar la existencia de $a_n$, ¿cómo construir una secuencia por medio de la $f_n(x)$?

Gracias!

Answer 1

Tenemos casi todos $x\in A$ que existe $N=N(x)$ tal que $n\geqslant N$, $\frac{|f_n(x)|}{a_n}\leqslant \frac 1n$ (por lo tanto, $\frac{|f_n(x)|}{a_n}\to 0$).

El número $a_n$ existe porque $\lim_{R\to \infty}\lambda\{|f_n|\gt R\}=0$ (sólo necesitamos $f_n$ ser medibles).

Answer 2

Estoy un poco confundida por esta pregunta: Si la funciones $f_n$ son continuas, entonces no necesitamos cualquier teoría de la medida aquí. Simplemente establece $a_n = n \sup_{x \in [0,1]} |f(x)|$ (donde $a_n$ es finito porque se limita a una función continua en un conjunto compacto). Entonces $f_n(x)/a_n \to 0$ cada $x$, no sólo casi todos $x$. (De hecho, $f_n/a_n \to 0$ uniformemente.)