Mostrar que $a^{bc}+b^{ca}+c^{ab}>2$ $a,b,c\in(0,1)$

Question

Mostrar que $a^{bc}+b^{ca}+c^{ab}>2$ $a,b,c\in(0,1)$.

Tengo ninguna idea cómo tratar esta desigualdad exponencial y no podía encontrar la condición para la igualdad. Cualquier sugerencias serán apreciadas.

Answer 1

Que $\{x,y\}\subset(0,1)$.

Por lo tanto, por Bernoulli $\left(\frac{1}{x}\right)^y=\left(1+\frac{1}{x}-1\right)^y\leq1+y\left(\frac{1}{x}-1\right)=\frac{x+y-xy}{x}$.

ID est, $\sum\limits_{cyc}a^{bc}\geq\sum\limits_{cyc}\frac{a}{a+bc-abc}$.

Por lo tanto, queda por demostrar que $\sum\limits_{cyc}\frac{a}{a+bc-abc}\geq2$, que es

$2a^2b^2c^2-2abc+1+\sum\limits_{cyc}(-2a^2b^2c+a^2bc+a^2b+a^2c-a^2)\geq0$ 0r

$$(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)+\sum\limits_{cyc}(a^2b^2c^2-2a^2b^2c+a^2bc)+$ $ $$+\frac{1}{2}\sum\limits_{cyc}(a^2b+a^2c-2a^2b^2)+\frac{1}{2}\sum\limits_{cyc}\left(a^2b+a^2c-\frac{4}{3}abc\right)\geq0,$ $ que es obvio porque $$\sum\limits_{cyc}(a^2b+a^2c-2a^2b^2)=\sum\limits_{cyc}(a^2(b-b^2)+a^2(c-c^2))\geq0,$$ $$\sum\limits_{cyc}(a^2b^2c^2-2a^2b^2c+a^2bc)=abc\sum\limits_{cyc}a(1-b)(1-c)\geq0$ $ y $ de $$\sum\limits_{cyc}\left(a^2b+a^2c-\frac{4}{3}abc\right)\geq\sum\limits_{cyc}\left(a^2b+a^2c-2abc\right)=\sum\limits_{cyc}c(a-b)^2\geq0$ hecho!