¿Qué significa ser un "subconjunto cerrado de un espacio métrico"?

Question

Por lo tanto, estoy trabajando en el libro de Dover, Introducción a la Topología por Bert Mendelson, y en la sección de conjuntos abiertos y cerrados, estoy atascado en la siguiente notación para este problema:

Sea $(X,d_1)$, $(Y,d_2)$ espacios métricos. Sea $f\colon X\to Y$ continua. Defina una función de distancia $d$ en $X\times Y$ de la manera estándar. Demuestre que el grafo $\Gamma_f$ de $f$ es un subconjunto cerrado de $(X\times Y,d)$.

(El "grafo" de $f$ es el conjunto $\{(x,y) \in X \times Y : y = f(x)\}$).

No entiendo lo que significa probar que el grafo de f es un "subconjunto" de $(X \times Y, d) . Obviamente, el grafo es un subconjunto de $X \times Y$. Por lo que entiendo, significa, "el conjunto $X \times Y$ con una métrica $d$." ¿Cómo juega el aspecto métrico en demostrar que es un subconjunto cerrado?

Como nota adicional, pensé que todo lo que debería demostrar es que el grafo de $f$ es un subconjunto de $X \times Y$ y que ese subconjunto es cerrado, pero no estoy seguro. ¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Un subconjunto $A$ de un conjunto $X$ está cerrado con respecto a una métrica $d$ en $X$ precisamente si cada punto en la clausura de $A$ está en $A$. Un punto $a\in X$ está en la clausura de $A$ si por cada número positivo $\varepsilon$, sin importar cuán pequeño sea, la bola de radio $\varepsilon$ centrada en $a$ interseca a $A$.

Answer 2

Una forma alternativa pero muy importante de definir un subconjunto cerrado de un espacio métrico X es como el complemento de un subconjunto abierto de X. La definición de un subconjunto abierto se define aquí:

http://es.wikipedia.org/wiki/Subconjunto_abierto#Espacios_métricos

Luego puedes definir un subconjunto cerrado A de X como cualquier conjunto donde su complemento X\A es abierto en X.

Esta definición de subconjunto cerrado de X es equivalente a la definición de Michael (y como ejercicio deberías intentar demostrar que las dos definiciones son equivalentes).