El grupo de inversible elementos de $\mathbb F_{p}[x]/(x^m)$ no es un grupo cíclico.

Question

Estoy atascado en una pregunta sobre campos finitos y quisiera pedirle un poco de ayuda.

Dado un entero $m\geq 2$ $p$ un número primo, muestran que $(\mathbb F_{p}[x]/(x^m))^{\times}$ (el grupo de todos los invertible elementos de $\mathbb F_{p}[x]/(x^m)$) no es un grupo cíclico.

Realmente no sé cómo empezar. Sé un lema que me dice que para cada campo finito $\mathbb F_{q}$ $q$ elementos, el grupo multiplicativo de los distinto de cero elementos $\mathbb F_{q}^{\times}$ es cíclico. Pero no creo que yo uso aquí...

¿Alguien tiene una idea? Gracias de antemano!

Answer 1

Deje $R = \mathbb{F}_p[X]/(X^m)$, entonces para cualquier $f(X) = a_0 + a_1X + \ldots + a_nX^n \in \mathbb{F}_p[X]$, vamos a $\overline{f}$ el valor de su imagen en $R$. Entonces $$ \overline{f} \in R^{\ast} \Leftrightarrow (f,X^m) = 1 \Leftrightarrow X\nmid f(X) \Leftrightarrow a_0 \neq 0 $$ Por lo tanto, si $\overline{f} \in R^{\ast}$, podemos escribir $$ g(x) = 1 + a_0^{-1}a_1X + a_0^{-1}a_2X^2 + \ldots + a_0^{-1}a_nX^n $$ Definir $$ G = \{1 + b_1\overline{X} + b_2\overline{X}^2 + \ldots + b_{m-1}\overline{X}^{m-1}\} $$ A continuación, $G$ es un multiplicativo subgrupo de $R^{\ast}$, y $$ \overline{f} \mapsto (a_0, \overline{g}) $$ define un isomorfismo $$ R^{\ast} \cong \mathbb{F}_p^{\ast} \times G $$ En particular, $|R^{\ast}| = (p-1)p^{m-1}$

1. Tenga en cuenta que para cualquier $a \in \mathbb{F}_p^{\ast}$, $a^{p-1} = 1$
2. Para cualquier $\overline{g} \in G$, el Frobenius mapa da $$ \overline{g}^p = 1 + a_1\overline{X}^p + a_2\overline{X}^{2} + \ldots + a_{m-1}\overline{X}^{p(m-1)} $$ Pero ya $p > m$, $X^m \mid X^p$, y por lo tanto $$ \overline{g}^p = 1 $$ Por lo tanto,

   El orden de cualquier elemento de $R^{\ast}$ es atmost $(p-1)p$.

Desde $|R^{\ast}| = (p-1)p^{m-1}$, $R^{\ast}$ no puede ser cíclico, siempre $m>2$.

Agregado : Si $m=2$,$|G| = p$, e $G$ es cíclico. También sabemos que $\mathbb{F}_p^{\ast}$ es cíclico. Desde $(p,p-1) =1$, se deduce que

$R^{\ast}$ es cíclico si $m=2$

Answer 2

Un grupo cíclico tiene al menos un subgrupo de cada orden, es suficiente para mostrar que no existe dos invertible elementos en $F_p[x]/(x^m)$ que tienen el mismo orden y generar los diferentes subgrupos. En particular, en un grupo cíclico hay un elemento de orden dos.

Si $p$ es impar, hay un elemento distinto de cero $\alpha$ en el campo, lo cual es diferente a $1$, y los elementos $a=1+x^{n-1}$ $b=1+\alpha x^{n-1}$ son dos diferentes unidades de orden dos.

Si $p$ es incluso y $m\geq4$, $a=1+x^{m-2}+x^{m-1}$ $b=1+x^{m-1}$ son dos elementos diferentes de orden dos.

Nos quedamos con $p=2$$m=3$, lo cual se puede hacer a mano :-)