Encontrar la integral de $\frac{x}{e^x + 1}$

Question

Tengo algunas dificultades con la búsqueda de esta integral:

$$ \int_0 ^{\infty} \frac{x}{e^x + 1}$$

Ahora generalmente yo usaría el teorema de convergencia monótona para escribir (con la serie geométrica):

$$f_n (x) = \sum_0 ^n (-1)^k x e^{-(k+1)x},$$

pero esto no es una secuencia de términos positivos, entonces, ¿cómo justificamos el interior integral en movimiento?

Gracias.

Answer 1

$$\begin{align} \int_0^\infty\frac{x}{e^x+1}\mathrm{d}x &=\int_0^\infty x\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}e^{-kx}\mathrm{d}x\\ &=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}\int_0^\infty xe^{-kx}\mathrm{d}x\\ &=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}\frac1{k^2}\int_0^\infty xe^{-x}\mathrm{d}x\\ &=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}\frac1{k^2}\\ &=\frac{\pi^2}{12} \end {Alinee el} $$ aunque la suma no es positiva, el integrando es dominado por $\frac{x}{e^x-1}$ que tiene la misma serie, pero sin la alternancia. Entonces podemos usar convergencia dominada para justificar el cambio de la integración y suma.

Answer 2

Permítanos generalizar el problema, vamos a evaluar $$ \int_0 ^{\infty} \frac{x^{m-1}}{e^x + 1}\ dx. $$ Reescribir la integral anterior como \begin{align} \int_0 ^{\infty} x^{s-1}\cdot\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\ dx&=\int_0 ^{\infty} x^{s-1}\cdot\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}e^{-nx} \ dx\\ &=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\int_{x=0}^{\infty} x^{s-1} e^{-nx} \ dx\quad;\quad\text{let }u=nx\\ &=\color{blue}{\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac1{n^s}}\color{red}{\int_{u=0}^{\infty} u^{s-1} e^{-u} \ du}\\ &=\color{blue}{\eta(s)}\color{red}{\Gamma(s)}, \end{align} donde $\color{blue}{\eta(s)}$ es la de Dirichlet eta función y $\color{red}{\Gamma(s)}$ es la función gamma.

En nuestro caso, tenemos $s=2$. Por lo tanto $$ \int_0 ^{\infty} \frac{x}{e^x + 1}\ dx=\eta(2)\Gamma(2)=\large\color{blue}{\frac{\pi^2}{12}}. $$

Answer 3

Tenga en cuenta que usando el % de reemplazo $u=e^x+1, du = (u-1)dx$, conduce a una integral que implica la definición de la segunda orden polylogarithm, $\text{Li}_2(x)$.