¿Es $1-\zeta_n$ una unidad en cada anillo donde $n$ es invertible?

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo donde $n\ge 2$ es invertible y que contiene una primitiva $n$th raíz de 1, llamado $\zeta_n$, la satisfacción de $\zeta_n^n = 1$ $\zeta_n^k\ne 1$ cualquier $1\le k\le n$.

Es $1-\zeta_n$ invertible en a $R$?

Gracias a Hurkyl, excelente punto, se puede considerar el contraejemplo $k[t]/(t^2-1)$ donde $t$ es una primitiva de la raíz cuadrada de 1, sino $t-1$ es un divisor de cero, por lo tanto no es una unidad.

En este ejemplo, mi impresión es que se obtienen dos componentes conectados de $\text{Spec }k[t]/(t^2-1)$, donde en uno de ellos $t = 1$, y en el otro $t = -1$. Así, tenemos la pregunta de seguimiento:

Si $R$ es un anillo local, debe $1-\zeta_n$ ser invertible en a $R$?

También yo realmente no entiendo por qué fue puesto en espera. La pregunta que al parecer era lo suficientemente clara como para garner corto y, sin embargo valiosas respuestas.

Answer 1

Aquí es un contraejemplo: el anillo $\mathbb{Q}[t]/(t^2 - 1)$ $t$ es una raíz cuadrada primitiva de la unidad. Sin embargo, $1-t$ es un divisor de cero y así no inversible.

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La conjetura es verdadera en un dominio, sin embargo. Los poderes de $\zeta_n$ son raíces de $x^n - 1$, por lo que en un dominio puede concluir inmediatamente

$$ \frac{x^n - 1}{x-1} = \prod_{k=1}^{n-1} (x - \zeta_n^k)$$

Enchufar en $x=1$ le permite escribir una inversa explícita $1 - \zeta_n$.

Answer 2

Sugerencia: Hemos $$\prod_{k=1}^{n-1}\,\left(x-\zeta^k_n\right)=\sum_{r=0}^{n-1}\,x^r\,.$$

EDIT: a Ver Hurkyl del comentario de abajo.

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Un Contraejemplo No Conmutativa

Un entero positivo $n>1$ es fijo, y un campo de $\mathbb{K}$, cuya característica no divide $n$ es dado. Deje $R$ ser el anillo de $n$a$n$ matriz $\mathbb{K}$ con la identidad de $I_n$. A continuación, el $n$a$n$ matriz de permutación $$\Xi_n:=\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots&0&0\\0&0&1&\cdots&0&0\\0&0&0&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&0&1\\1&0&0&\cdots&0&0\end{bmatrix}$$ is a primitive $n$-th root of unity. However, $I_n-\Xi_n$ is not invertible, having the $\mathbb{K}$-span of the $n$-by-$1$ column vector $$\begin{bmatrix}1\\1\\1\\\vdots\\1\end{bmatrix}$$ como el nullspace. Tengo la curiosidad de si existe un contraejemplo con un no conmutativa integral anillo.