Canónico distribución de probabilidad asociada a la "media armónica"

Question

Hay una canónica de distribución de probabilidad continua, el centro de la cual es mejor que se caracteriza con la media armónica, dado por $$ \mathrm{HM}(X) = n \cdot \left( \sum\limits_{k=1}^{n} x_k^{-1} \right)^{-1}? $$

Con "canónica" me refiero a: similar a la forma en que se suelen asociar a la distribución normal con la media aritmética, $$ \mathrm{AM}(X) = \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{x_k}{n}, $$ o el registro de la distribución normal con la media geométrica, $$ \mathrm{GM}(X) = \prod\limits_{k=1}^{n} x_k^{\frac{1}{n}}. $$

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Actualización: Debido a que el cero no es invertible, supongo que con el apoyo de dicha distribución tiene que ser un subconjunto de a $\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$, quizá $\mathbb{R}_{>0}$.

Answer 1

El inverso de la distribución normal no proporciona un ejemplo adecuado, porque si $Y = Z^{-1}$ donde$Z \sim \operatorname{Normal}(0,1)$, $\operatorname{E}[Y]$ es indeterminado. Sin embargo, podemos considerar un doble inversa de la distribución gamma: definir $$f_X(x) = \frac{|x|}{2}e^{-|x|}, \quad -\infty < x < \infty.$$ It is trivial to see that this function indeed defines a density. Now let $Y = X^{-1}$, from which we find that the density of $Y$ is $$f_Y(y) = f_X(y^{-1})y^{-2} = \frac{1}{2y^2|y|} e^{-1/|y|}, \quad y \ne 0.$$ This function does have a well-defined expectation since $$\int_{y=0}^\infty yf_Y(y) \, dy = \frac{1}{2}.$$ Then, due to $f_Y$ being an even function, we trivially find $\operatorname{E}[Y] = 0$.

Ahora, si la media armónica de un ALCOHOLÍMETRO muestra tomada de $Y$ es, en cierto sentido, la "mejor" estimador de la media de la población es debido a $\bar x$ es el "mejor" estimador de la media de $X$$Y = 1/X$, yo no estoy tan seguro. Esto es debido a que podemos decir que el estimador $\tilde y = n (\sum_{i=1}^n y_i^{-1})^{-1}$ tiene la expectativa de $$\operatorname{E}[\tilde y] = n \operatorname{E}\left[\left(\sum_{i=1}^n y_i^{-1}\right)^{-1}\right],$$ but it cannot be said that the RHS is in general equal to $$n \left(\operatorname{E}\left[\sum_{i=1}^n y_i^{-1}\right]\right)^{-1},$$ in as much as we cannot generally write $$\operatorname{E}[g(X)] = g(\operatorname{E}[X]):$$ that is, the expectation of a function of a random variable does not generally equal the function evaluated at the variable's expected value. If you could say that, then the expectation passes through the sum via linearity and you'd get $$n \left(\sum_{i=1}^n \operatorname{E}[y_i^{-1}]\right)^{-1} = n \left(n \operatorname{E}[X]\right)^{-1} = \operatorname{E}[X]^{-1}.$$ And again, you run into the same problem/fallacy: you can't claim that this last expression equals $\operatorname{E}[Y]$. Por lo tanto, la idea de considerar la inversa distribuciones parece dudoso para mí.

Answer 2

Es muy claro lo que quieres decir por "canónica" y "asociados con" desde

1. $AM(F_n)\overset{a.s.}\longrightarrow E(F)$ cualquier $F$ (si $E(F)$ existe) - no sólo normal $F$.

2. $GM(F_n)\overset{a.s.}\longrightarrow median(F)$ cualquier $F=\exp(S)$ si $E(S)=median(S)$ - no sólo normal $S$.

3. A la espera de esta aclaración, $HM(F_n)\overset{a.s.}\longrightarrow mode(F)$ $$F\sim\Gamma(\alpha,\beta)$$ para $\alpha>1$, ya que el $mode(\Gamma(\alpha,\beta))=\frac{\alpha-1}{\beta}=(E(Inv\Gamma(\alpha,\beta))^{-1}$.

4. De hecho, por encima de la convergencia se mantiene para cualquier distribución $F$ s.t. $$\int_R \frac {dF(u)}{u}=\frac 1 {mode(F)}$$ Estos incluyen todas las distribuciones con $[0,\infty)$ de apoyo que tienen un modo en $0$. Si no, ya HM está sesgada hacia los valores pequeños de la distribución, de la que recoge el modo de si $f(0)=0$, $f$ sube a su punto máximo y luego se cae más lento de lo que se levantó.

5. Una discreta ejemplo en $\{a,b,c\}$: elija cualquiera de los valores positivos $a$, $c$ y probabilidades $p_a$, $p_c$ s.t. $p_b=1-p_a-p_c>\max\{p_a,p_c\}$ y establezca $b^{-1}=\frac{p_a}{p_a+p_c}a^{-1}+\frac {p_c}{p_a+p_c}c^{-1}$ conseguir $HM(F_n)\to b$. Set $p_a=p_c<1/3$, para obtener el $b=HM(a,c)$.