Me gustaría probar el siguiente hecho básico relacionado con el grupo fundamental:
Un bucle de $\gamma : [0,1] \rightarrow X$ es nulo homotópica si y sólo si se puede extender a una función continua de la disco $D^2$.
Me pueden decir si esto es correcto:
Voy a utilizar el siguiente hecho (sin prueba):
$(*)$ Si $X$ es una célula compleja y $A$ es un subcomplejo y $(X,A)$ tiene el homotopy extensión de la propiedad y $A$ es contráctiles y $q:X \rightarrow X/A$ es la proyección en el espacio cociente, a continuación, $q$ es un homotopy de equivalencia.
$\implies$ Deje $\gamma $ ser homotópica a la función constante $c$, es decir, existe una homotopy $h_t: [0,1] \times [0,1] \rightarrow X$$h_0 = \gamma$$h_1 = x_0$. Para hacer $h_t$ en función de $D^2$ en lugar de $I \times I$ uno puede cociente $I \times I$ por la relación que identifica los puntos en el conjunto de $A := \{0 \} \times I \cup I \times \{1\} \cup \{1\} \times I$ que es parte de la frontera de la plaza $I \times I$. $I \times I / A$ es homeomórficos a $D^2$ y $(*)$, homotopy equivalente a $I \times I$. Además, su frontera después de quotienting es homeomórficos a $S^1$. Ahora en lugar de ver los $\gamma $ como una función de $[0,1]$ $\gamma(0) = \gamma(1) = x_0$ uno puede equivalentemente, vista como una función de $S^1 = [0,1] / \{0,1\}$. Si $q:I \times I \rightarrow I \times I / A$ es el cociente mapa, a continuación, la función de $h_t \circ q^{-1} : I \times I / A \rightarrow I \times I \rightarrow X$ es una función de $D^2$ $X$con la propiedad deseada que se limita a $S^1$ coincide con $\gamma$.
$\Longleftarrow$ Deje $\Gamma : D^2 \rightarrow X$ ser una función que coincide con $\gamma$ en $S^1$. $D^2$ es contráctiles, es decir, existe una homotopy $h_t : I \times D^2 \rightarrow X$ tal que $h_0 = id_{D^2}$$h_1 = id_*$. A continuación, $\Gamma \circ h_t$ es un homotopy $\gamma \simeq c$.
Yo estaría muy agradecido si usted no sólo puede comprobar esto por errores, pero también me dicen si hay un corto o una mejor manera de hacer algo. Gracias!
