Supongamos que la función de $f(x)$ tiene una expansión en series de Taylor. Entonces $$\int_a^bf(x)dx=\int_a^b(f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2+\cdots)dx=\\ \frac{f(a)}{1!}(b-a)+\frac{f'(a)}{2!}(b-a)^2+\frac{f''(a)}{3!}(b-a)^3+\cdots$$
y
$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^b(f(b)+f'(b)(x-b)+\frac{1}{2}f''(b)(x-b)^2+\cdots)dx=\\ \frac{f(b)}{1!}(b-a)-\frac{f'(b)}{2!}(b-a)^2+\frac{f''(b)}{3!}(b-a)^3+\cdots$$
Por lo tanto
$$\int_a^bf(x)dx=\frac{1}{1!}\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)+\frac{1}{2!}\frac{f'(a)-f'(b)}{2}(b-a)^2+\frac{1}{3!}\frac{f''(a)+f''(b)}{2}(b-a)^3+\cdots$$
Sin embargo, también se pueden considerar como $$\int_a^bf(x)dx=\int_a^df(x)dx+\int_d^bf(x)dx$$
donde $d=\frac{a+b}{2}$
Entonces
$$\int_a^df(x)dx=\int_a^d(f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f"(a)(x-a)^2+\cdots)dx=\\ \frac{1}{1!}\frac{f(a)}{2}(b-a)+\frac{1}{2!}\frac{f'(a)}{2^2}(b-a)^2+\frac{1}{3!}\frac{f"(a)}{2^3}(b-a)^3+\cdots$$
$$\int_d^bf(x)dx=\int_d^b f(b)+f'(b)(x-b)+\frac{1}{2}f"(b)(x-b)^2+\cdots)dx=\\ \frac{1}{1!}\frac{f(b)}{2}(b-a)-\frac{1}{2!}\frac{f'(b)}{2^2}(b-a)^2+\frac{1}{3!}\frac{f"(b)}{2^3}(b-a)^3+\cdots$$
y así
$$\int_a^bf(x)dx=\frac{1}{1!}\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)+\frac{1}{2!}\frac{f'(a)-f'(b)}{2^2}(b-a)^2+\frac{1}{3!}\frac{f''(a)+f''(b)}{2^3}(b-a)^3+\cdots$$
Mi pregunta es, las dos estimaciones son diferentes. Cuál es la correcta?
