Estimación de la integral

Question

Supongamos que la función de $f(x)$ tiene una expansión en series de Taylor. Entonces $$\int_a^bf(x)dx=\int_a^b(f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2+\cdots)dx=\\ \frac{f(a)}{1!}(b-a)+\frac{f'(a)}{2!}(b-a)^2+\frac{f''(a)}{3!}(b-a)^3+\cdots$$

y

$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^b(f(b)+f'(b)(x-b)+\frac{1}{2}f''(b)(x-b)^2+\cdots)dx=\\ \frac{f(b)}{1!}(b-a)-\frac{f'(b)}{2!}(b-a)^2+\frac{f''(b)}{3!}(b-a)^3+\cdots$$

Por lo tanto

$$\int_a^bf(x)dx=\frac{1}{1!}\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)+\frac{1}{2!}\frac{f'(a)-f'(b)}{2}(b-a)^2+\frac{1}{3!}\frac{f''(a)+f''(b)}{2}(b-a)^3+\cdots$$

Sin embargo, también se pueden considerar como $$\int_a^bf(x)dx=\int_a^df(x)dx+\int_d^bf(x)dx$$

donde $d=\frac{a+b}{2}$

Entonces

$$\int_a^df(x)dx=\int_a^d(f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f"(a)(x-a)^2+\cdots)dx=\\ \frac{1}{1!}\frac{f(a)}{2}(b-a)+\frac{1}{2!}\frac{f'(a)}{2^2}(b-a)^2+\frac{1}{3!}\frac{f"(a)}{2^3}(b-a)^3+\cdots$$

$$\int_d^bf(x)dx=\int_d^b f(b)+f'(b)(x-b)+\frac{1}{2}f"(b)(x-b)^2+\cdots)dx=\\ \frac{1}{1!}\frac{f(b)}{2}(b-a)-\frac{1}{2!}\frac{f'(b)}{2^2}(b-a)^2+\frac{1}{3!}\frac{f"(b)}{2^3}(b-a)^3+\cdots$$

y así

$$\int_a^bf(x)dx=\frac{1}{1!}\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)+\frac{1}{2!}\frac{f'(a)-f'(b)}{2^2}(b-a)^2+\frac{1}{3!}\frac{f''(a)+f''(b)}{2^3}(b-a)^3+\cdots$$

Mi pregunta es, las dos estimaciones son diferentes. Cuál es la correcta?

Answer 1

Sorprendentemente, aparecen a ambos de ser la correcta. He comprobado las siguientes integrales mediante dos fórmulas: $$\int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm{d}x=1,\;\;\int_0^{\pi/2}\cosh x\,\mathrm{d}x\approx 2.301,\;\;\int_a^{b}x^2\,\mathrm{d}x=\frac{b^3-a^3}{3},\;\;\int_a^{b}x^3\,\mathrm{d}x=\frac{b^4-a^4}{4}$$ Véase, por ejemplo, Aquí y Aquí

(desplácese hacia abajo para "formas Alternativas")

Los dos primeros fueron realizados por un programa en Python.

No parece ser un error en su argumento, así que sólo puedo concluir que en realidad son iguales el uno al otro. Tenga en cuenta que el segundo de la serie convergente mucho más rápidamente que en mi aproximaciones que hizo con la primera. Esperemos que alguien puede dar una prueba.