Máximo de Polinomios en el Círculo Unidad

Question

Dejemos que $z_{1},z_{2},\ldots,z_{n}$ sean puntos aleatorios i.i.d en el círculo unitario ( $|z_i|=1$ ) con una distribución uniforme de sus ángulos. Consideremos el polinomio aleatorio $P(z)$ dado por $$ P(z)=\prod_{i=1}^{n}(z-z_i). $$

Dejemos que $m$ sea el valor absoluto máximo de $P(z)$ en el círculo unitario $m=\max\{|P(z)|:|z|=1\}$ .

¿Cómo puedo estimar $m$ ? Más concretamente, me gustaría demostrar que existe $\alpha>0$ tal que lo siguiente se mantiene casi con seguridad como $n\to\infty$ $$ m\geq e^{\alpha\sqrt{n}}. $$

¿Alguna idea de lo que puede ser útil aquí?

Answer 1

El logaritmo de su función objetivo es

$$\sum_{i=1}^n \ln\lvert z - z_i\rvert\;.$$

Si se piensa que los puntos están distribuidos de forma continua para grandes $n$ esto se convierte en $n$ veces la media

$$\frac{1}{\pi}\int_{D_1} \ln\lvert x-x' \rvert \mathrm d^2x'\;.$$

Esto es el potencial de un disco uniformemente cargado a distancia $|x|$ desde el centro, dentro del disco. Se puede evaluar, como en el caso tridimensional de una esfera uniformemente cargada, dividiendo la integral en una parte para los anillos interiores a $x$ para el que hay que evaluar el potencial en el radio $|x|$ y una parte para los anillos exteriores a $x$ para lo cual hay que evaluar el potencial en el radio de los anillos:

$$ \begin{eqnarray} \frac{1}{\pi}\int_{D_1} \ln\lvert x-x' \rvert \mathrm d^2x' &=& 2\left(\int_0^{|x|}\ln|x|r\mathrm dr+\int_{|x|}^1\ln r r\mathrm dr\right)\\ &=&\frac{1}{2}\left(|x|^2-1\right)\;. \end{eqnarray} $$

Por tanto, la contribución media de una densidad uniforme de puntos es nula en la frontera y negativa en el resto. ¿Coincide esto con sus experimentos numéricos? Sugiere que el máximo debería estar cerca del límite para grandes $n$ .

También sugiere que puedes pensar en el término de la raíz cuadrada en tu conjetura como algo que surge de las fluctuaciones alrededor de esta densidad uniforme, por lo que la conjetura podría reformularse como algo así como "Casi seguramente, habrá fluctuaciones locales en la densidad de los puntos para crear una fluctuación de $\alpha\sqrt{n}$ en la suma de los logaritmos en algún punto de la frontera". Voy a pensar un poco más en cómo se puede hacer esto riguroso.

Answer 2

Esto parece $\textbf{somewhat related}$ a un Miklos Schweitzer $(1972)$ problema.

$\textbf{Problem 6.}$ Dejemos que $P(z)$ sea un polinomio de grado $n$ con coeficientes complejos, $$P(0)=1, \quad \ \text{and} \ |P(z)| \leq M \ \ \text{for} \ |z| \leq 1.$$ Demostrar que toda raíz de $P(z)$ en el disco unitario cerrado tiene multiplicidad a lo sumo $c\sqrt{n}$ donde $c=c(M) > 0$ es una constante que sólo depende de $M$ .

$\textbf{Solution 1.}$ (Como se indica en " Concursos de matemáticas superiores ", por : Gabor J.Szekely). Basta con examinar la multiplicidad del número $1$ . De hecho, si probamos algo para $1$ entonces podemos aplicar el resultado al polinomio $p(z)=P(\alpha z)$ con $|\alpha| \leq 1$ y de esta manera, obtenemos la misma estimación para todas las raíces que se encuentran en el disco unitario. La idea de la solución es la siguiente. Consideramos la integral $$F(P) = \int\limits_{0}^{2\pi} \log{|P(e^{i\phi})|} \ d\phi$$ y demostrar que existe y es no negativo. Entonces lo estimamos desde arriba, una vez en la vecindad de $1$ con la ayuda de la multiplicidad de $1$ y el grado de $P$ y una vez en otros puntos utilizando la condición $|P(z)| \leq M$ .

Basta con demostrar la existencia de la integral para polinomios de la forma $z-z_{0}$ . Si $$P(z)= c \cdot\prod\limits_{i=1}^{n}(z-z_{i})$$ entonces $$\log{|P(z)|} = \log{|c|} + \sum\limits_{i=1}^{n} \log{|z-z_{i}|}$$

La existencia de $$\int\limits_{0}^{2\pi} \log{|e^{i\phi}-z_{0}|}\ d\phi$$ es evidente si $|z_{0}| \neq 1$ . Siguiente $|z_0|=1$ . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $z_{0}=1$ (una sustitución $\phi=n+\phi_{0}$ los lleva hacia el otro). A continuación, $$|e^{i\phi}-1| = \left\lvert\:2\sin\frac{\phi}{2}\right\rvert$$ y $$\int\limits_{0}^{2\pi} \log\:\left\lvert\:2\sin\frac{\phi}{2}\right\rvert \ d\phi$$ existe realmente y es igual a $0$ .

A continuación, calcula la integral $$f(\alpha)= \int\limits_{0}^{2\pi} \log\biggl|1-\frac{e^{i\phi}}{\alpha}\biggr| \ d\phi \qquad\qquad (\alpha\neq 0)$$ para $\alpha \neq 1$ . Obviamente, su valor depende del valor absoluto de $\alpha$ sólo (de nuevo, se puede aplicar una subsitución como la anterior), por lo que es lo mismo para los números $\alpha\epsilon_{1},\alpha\epsilon_{2},\cdots, \alpha\epsilon_{n}$ donde el $\epsilon_{j}$ son los $n$ -raíces unitarias. Por lo tanto, $$n f(\alpha) = \sum\limits_{j=1}^{n} f(\alpha\epsilon_{j})=\int\limits_{0}^{2\pi} \log\:\Biggl| \prod\limits_{j=1}^{n} \biggl(1-\frac{e^{i\phi}}{\alpha\epsilon_{j}}\:\biggr)\Biggr| \ d\phi$$

Ahora bien, si $|\alpha|>1$ , entonces para $n\to\infty$ la integral del lado derecho tiende a cero ya que $1-e^{in\phi}/\alpha^{n} \to 1$ de manera uniforme; así $f(\alpha)=0$ . Por otro lado, si $|\alpha| <1$ entonces $$n(f(\alpha)+2\pi\log{|\alpha|})=\int\limits_{0}^{2\pi} \log{|\alpha^{n}-e^{in\phi}|} \ d\phi \to 0$$ desde $1-|\alpha|^{n} < |\alpha^{n}-e^{in\phi}|<1+|\alpha|^{n}$ así que en este caso $f(\alpha)=-2\pi \log{|\alpha|}$ sólo es posible. En cada uno de los tres casos, tenemos $f(\alpha) \geq 0$ . En nuestro caso, la relación $P(0)=1$ implica, $$P(z)=\prod\limits_{j=1}^{n} \biggl(1-\frac{z}{z_j}\biggr)$$ de donde $$F(P)= \sum\limits_{j=1}^{n} f(z_j) \geq 0 \qquad (1)$$

Ahora dejemos que $P(z)=(z-1)^{k} Q(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}$ , donde $Q(1)\neq 0$ . Estimamos que $F(P)$ con la ayuda de $k$ , $n$ y $M$ . Sea $$F(P)=\int\limits_{0}^{2\pi} = \int\limits_{-\epsilon}^{\epsilon} + \int\limits_{\epsilon}^{2\pi-\epsilon} = F_{1}+F_{2}$$

Entonces $$F_{2} \leq \int\limits_{0}^{2\pi} \log{M} \ d\phi = 2 \cdot \pi \cdot \log{M} \qquad (2)$$

Nos dividimos $F_{1}$ de nuevo en dos partes: $$F_{1} = \int\limits_{-\epsilon}^{\epsilon} \log{|(z-1)^{k}|} \ d\phi + \int\limits_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|Q(e^{i\phi})| \ d\phi=F_{3}+F_{4} \qquad (3)$$

Claramente \begin{align*} F_{3} &= k \int\limits_{-\epsilon}^{\epsilon} \log\Bigl(2\cdot\sin\frac{|\phi|}{2}\Bigr) < 2k\int\limits_{0}^{\epsilon} \log\phi \ d\phi \\ &=2k\epsilon \cdot (\log\epsilon -1) \qquad (4) \end{align*}

Para estimar $F_{4}$ necesitamos una estimación de $Q$ que obtenemos a partir de los coeficientes de la expansión de $Q$ sobre $1$ . Sea $Q(1+z)= R(z)$ . Calculamos los coeficientes de $R$ de los de $P$ utilizando la fórmula $R(z)= \frac{P(z+1)}{z^{k}}$

\begin{align*} P(z+1) &=\sum\limits_{j=0}^{n} a_{j}(z+1)^{j} =\sum\limits_{j=0}^{n}\sum\limits_{m=0}^{j}a_{j}\cdot {j \choose m} \cdot z^{m} \\ &=\sum\limits_{m=k}^{n} z^{m} \cdot \sum\limits_{j=m}^{n} a_{j} \cdot {j \choose m} \end{align*} ya que para $m < k$ el coeficiente de $z^{m}$ es $0$ por nuestra suposición. Así, $$R(z)=\sum\limits_{m=0}^{n-k}b_{m}z^{m}, \qquad b_{m}=\sum\limits_{j=m+k}a_{j} {j \choose m+k} \qquad (5)$$

Además, por las desigualdades de Cauchy, $|a_{j}|=|P^{(j)}(0)|/j! \leq M$ Poniendo esto en $(5)$ encontramos, $$|b_{m}| \leq M \sum\limits_{j=m+k}^{n} {j \choose m+k} = M {n+1 \choose m+k+1} \qquad (6)$$

Si $|z|=\delta$ y $\delta(n-k)/(k+2) < 1$ Entonces, en vista de $(6)$ ,

\begin{align*} \frac{|R(z)|}{M} & \leq \sum\limits_{m=0}^{\infty} \delta^{m} {n+1 \choose m+k+1} \\ &={n+1 \choose k+1} \cdot \Bigl(1+\delta \frac{n-k}{k+2} + \delta^{2}\frac{n-k}{k+2}\cdot\frac{n-k-1}{k+3} + \cdots \Bigr) \\ &\leq {n+1 \choose k+1} \sum\limits_{j=0}^{\infty} \Bigl(\delta \frac{n-2}{k+2}\Bigr)^{j} = {n+1 \choose k+1} \frac{1}{1-\delta \frac{n-k}{k+2}} \end{align*}

Desde $|e^{i\phi}-1|=2|\sin\frac{\phi}{2}| \leq |\phi|$ Por lo tanto, si $\epsilon < ((k+2)/2(n-k))$ , entonces para $|\phi| \leq \epsilon$ tenemos $$|Q(e^{i\phi})|= |R(e^{i\phi}-1)| \leq M {n+1 \choose k+1}\frac{1}{1-\epsilon\frac{n-k}{k+2}} < 2M {n+1 \choose k+1}$$ Si $k\geq 2$ , $t! > t^{t}e^{-t}$ obtenemos,

\begin{align*} {n+1 \choose k+1} &= \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)}{(k+1)!} \\ &= \frac{(n^{2}-1)\cdot n \cdot (n-2) \cdot (n-k+1)}{(k+1)!} < \frac{n^{k+1}}{(k+1)!} < \Bigl(\frac{en}{k+1}\Bigr)^{k+1} \end{align*}

Así, $$\log{|Q(e^{i\phi})|} < \log{2M} + (k+1)\log\frac{en}{k+1}$$ y en consecuencia $$F_{4} < 2\epsilon \biggl[ \log(2M) + (k+1)\log\frac{en}{k+1}\biggr]$$

Recogiendo todo, por $(1)$ , $(2)$ , $(3)$ y $(4)$ $$(\pi+\epsilon)\log{M} + \epsilon\log\frac{2en}{k+1} + \epsilon k \log\frac{en}{k+1} \geq 0 \qquad (7)$$

Ahora bien, si $n=k^{2}/2c$ , dejemos que $\epsilon = c/k$ (esto cumple la condición $\epsilon < ((k+2)/2(n-k))$ ). Entonces $(7)$ se convierte, $$\Bigl(\pi+\frac{c}{k}\Bigr) \log{M} + \frac{c}{k} \log\frac{\epsilon k^{2}}{c(k+1)} + c \log\frac{k}{2(k+1)} \geq 0$$

Sólo empeoramos las cosas si también sustituimos $k+1$ por $k$ . Además, $c/k=k/2n \leq \frac{1}{2}$ da $\pi+\frac{c}{k} < 4$ , $c/k \log(ek/c) < (c/k) \cdot (ek/c)=e < 3$ Así que finalmente $$4\log{M} + 3 \geq c \log{2}, \qquad (8)$$ $$c < \log{M}+6$$ Desde $k=\sqrt{2cn}$ , relación $(8)$ significa que hemos demostrado la afirmación del problema con $$c(M)=\sqrt{16\log{M}+12}$$

Answer 3

Creo que la conjetura de que $\sup_\theta \prod_j |\theta - z_j| \gg e^{c\sqrt{n}}$ casi seguro que no es cierto. Implicaría $\sup_\theta \sum_j \log |\theta - z_j| \gg \sqrt{n}$ . Pero por la analogía con el valor absoluto de un movimiento browniano $|B_t|$ , $t \in [0,1]$ Creo que sólo se puede decir $\sup_\theta \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_j \log |\theta - z_j| > 0$ casi seguro.

Consideremos el proceso estocástico $F(\zeta) = \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_j \log|\zeta - z_j|$ , donde $|z_j| = 1$ y $|\zeta| = 1$ . Yo reclamo $F$ converge un proceso gaussiano, en el sentido de que cualquier distribución de dimensión finita es conjuntamente gaussiana. Esto puede establecerse con el método de momentos de CLT, utilizando sólo los 2º momentos mixtos, ya que esos términos dominan la suma para potencias de momento pequeñas, junto con el hecho de que $\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} (\log(2(1- \cos t)))^k dt \ll k! / 2^k$ para que la cola de la expansión de Taylor desaparezca. La estructura de covarianza de este proceso no parece admitir una forma cerrada, pero mi gráfico de Mathematica muestra que es convexa con un valor entre 1 y $-1/2$ (para dos antípodas $\zeta$ 's). $$ G(\eta) := \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log(2(1 + \cos \theta)) \log(2(1 + \cos(\theta + \eta))) d \theta.$$ $$ C(\eta) := G(\eta) / G(0); \qquad G(0) = \frac{\pi^2}{3}.$$ Ahora podemos tomar prestadas ideas de Notas de la conferencia de James Lee para obtener un límite superior de $\sup F(\zeta)$ mediante la comparación de Slepian con algunos procesos gaussianos mejor comprendidos.