Probar la fórmula de reducción

Question

Se trata de "demostrar la fórmula de reducción"

$$ \int{ \frac{ x^2 }{ \left(a^2 + x^2\right)^n } dx } = \frac{ 1 }{ 2n-2 } \left( -\frac{x}{ \left( a^2+x^2 \right)^{n-1} } + \int{ \frac{dx}{ \left( a^2 + x^2 \right)^{n-1} } } \right) $$

Lo que tengo es

Conjunto

$ u = x $

$ du = dx $

$\displaystyle{ dv = \frac{ x }{ \left( a^2 + x^2 \right)^{n} } dx }$

$\displaystyle{ v = \frac{ 1 }{ 2(n+1) \left( a^2 + x^2 \right)^{n+1} } }$

Por lo que tengo

$$ \frac{ 1 }{ 2n+2 } \left( \frac{x}{ \left( a^2 + x^2 \right)^{n+1}} - \int{ \frac{dx}{ \left( a^2+x^2 \right)^{n+1} } } \right) $$

Que creo que es correcto. Se resta de n en el paso de integración y no sé por qué

Answer 1

Salió mal cuando $dv$.

Tienes $dv = x(a^2+x^2)^{-n}\,dx$. Cuando integran, se agrega uno al exponente. Pero añadiendo un $-n$ $-n+1 = -(n-1)$. Tan % $ de $$v = \frac{1}{2(-n+1)}(a^2+x^2)^{-n+1} = \frac{1}{2(1-n)(a^2+x^2)^{n-1}}.$el signo menos de la integración por partes puede ser cancelado hacia fuera cambiando el signo de $2(1-n)$ a $2(n-1) = 2n-2$.

Si utiliza el valor correcto de $v$, creo que usted no tendrá problemas para establecer la fórmula.