¿Existe alguna razón por la que, en una variedad proyectiva X, si un haz de líneas L tiene una sección (no nula) y también su dual tiene una sección entonces esto implica que L es el haz de líneas trivial?
Sí, hay una razón por la que $L$ es trivial y aquí está:
Sea $0\neq s\in \Gamma(X,L)$ y $0\neq \sigma\in \Gamma(X,L^*)$ sean dos secciones no nulas.
Entonces $s\otimes \sigma\in \Gamma(X,L\otimes L^*)=\Gamma(X,\mathcal O)$ es una constante ya que $X$ es completo: $s\otimes \sigma =c\in k$ (el cuerpo base).
Ahora, como $s$ y $\sigma$ son distintos de cero, hay un subconjunto abierto no vacío $U\subset X$ en el cual ninguno de los dos se anula y en el cual $s\otimes \sigma=c$ tampoco se anula: en otras palabras, $c\neq 0\in k$.
Dado que $s\otimes \sigma=c\neq 0$, una constante distinta de cero, no se anula en ningún lado, concluimos que a fortiori $s$ no se anula en ningún lado, por lo que $L$ es trivial, como se anunció, ya que $s\in \Gamma(X,L).
Por lo tanto, tenemos que suponer que $X$ es un esquema integral, propio sobre $k$. En este caso, $\Gamma(X, \mathcal{O})$ es una extensión de campo finita de $k".
@Andrea: sí. Cuando un usuario menciona variedades proyectivas intento interpretar su pregunta de la manera más elemental posible. Entonces, generalmente es posible que lectores más avanzados adapten la solución a un contexto más sofisticado, si así lo desean.
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Tu pregunta no es un duplicado (y me gusta esta pregunta), pero tal vez la respuesta debería ir acompañada de este enlace que completa la prueba: math.stackexchange.com/q/1397283/346324