Cálculo de las derivadas de Dini para $f(x)=\begin{cases}x\,\sin{\left(\frac{1}{x}\right)} & x\neq 0\\ 0 & x=0\end{cases}$

Question

Definir $D^+f(x) = \limsup\limits_{h\to 0^+}{\left(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)}$ . Dada la función $f(x)=\begin{cases}x\,\sin{\left(\frac{1}{x}\right)} & x\neq 0\\ 0 & x=0\end{cases}\,,$ encontrar $D^+f(x)$ .

También hay otras tres derivadas aproximadas que hay que calcular (lim inf de la derecha, lim sup y lim inf de la izquierda), pero supongo que si consigo una puedo conseguir las otras.

El problema es que, aunque entiendo los lim sup para las secuencias, todavía no he entendido los lim sup para las funciones... La definición parece totalmente confusa. (También es la primera vez que tengo que calcular el lim sup de una función, de alguna manera).

EDIT: Título editado para mayor precisión. El título original era "Cálculo de una derivada 'aproximada'"

Answer 1

Las cuatro "derivadas aproximadas" suelen denominarse Derivados de Dini . Encapsulan las mejores aproximaciones a la derivada habitual (y se definen siempre aunque ésta no exista) de cuatro maneras: son aproximaciones superiores e inferiores a la derivada de la izquierda y de la derecha.

Si sabe cuál es el gráfico de $x\sin{\frac{1}{x}}$ parece entonces que debería ser bastante fácil imaginar lo que se supone que son:

Obsérvese que el gráfico de $x \sin{\frac{1}{x}}$ toca cada uno de los cuatro rayos que salen del origen con una frecuencia infinita. Cada rayo con menor pendiente se cruzará infinitamente, mientras que cada rayo con mayor pendiente estará demasiado lejos

En cuanto a la definición de $\limsup$ Recuerda la razón de la notación. Si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una secuencia de números reales, entonces $\limsup_{n\to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} \sup_{k \geq n} x_{k}$ . Si la secuencia está acotada, este límite existe porque $s_{n} = \sup_{k \geq n} x_{k}$ es un disminuyendo secuencia y porque los números reales son completos. También se puede escribir $$\limsup_{n \to \infty} x_{n} = \inf_{n \geq 0} \sup_{k \geq n} x_{k}.$$ En cuanto a la generalización a las funciones recuerda que una secuencia es una función $x(n)$ de los números naturales a los números reales. Ahora bien, si $f: (0,\varepsilon) \to \mathbb{R}$ es una función que puede generalizar la última expresión para el $\limsup$ escribiendo $$\limsup_{h \searrow 0} f(h) = \inf_{h \geq 0}{\sup_{x \in (0, h)}} f(x).$$

Si entiendes bien la definición de mínimo y supremum, no deberías tener problemas para resolver lo siguiente:

Ejercicio: Si $a = \limsup_{h \searrow 0} f(h)$ entonces existe una secuencia $x_{n} \searrow 0$ tal que $a = \limsup_{n \to \infty} f(x_{n})$ y para cualquier otra secuencia $\limsup_{n \to \infty} y_{n} \leq a$ .

En otras palabras, para calcular $\limsup_{h \searrow 0} f(h)$ encontrar el máximo posible $\limsup_{n \to \infty} f(x_{n})$ entre todas las secuencias $x_{n} \searrow 0$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que si $x\neq 0$ la función es diferenciable en $x$ , los limsups y liminfs son iguales al límite, y sabes cómo encontrarlo desde el cálculo. Si $x=0$ la expresión se vuelve bastante sencilla, y desenrollando las definiciones y utilizando lo que se sabe sobre los valores de $\sin(1/h)$ para valores arbitrariamente pequeños de $h$ te dará los limsups y liminfs.

A grandes rasgos, el limsup de $g$ en $x$ es el mayor valor que $g(y)$ se acerca arbitrariamente a for $y$ arbitrariamente cerca de $x$ . Lo mismo ocurre con los liminfs, pero sustituyendo "mayor" por "menor". En su caso, los limsups y liminfs en $0$ se obtienen realmente como valores de la expresión para $h$ arbitrariamente pequeño.

Answer 3

He aquí una caracterización elemental de lo que significa el límite superior para las funciones, sin esconderse detrás de otras definiciones:

Dejemos que $f:(0,a)\to \mathbb{R}$ sea una función acotada. Entonces $\limsup_{x\to 0^+} f(x)$ es el número único $\mu\in \mathbb{R}$ de manera que se cumplan las dos afirmaciones siguientes:

1. Para cada $V>\mu$ existe $\delta>0$ tal que para cada $x\in (0,\delta)$ tenemos $f(x)<V$ .
2. Para cada $v<\mu$ y cada $\delta>0$ existe $x\in (0,\delta)$ tal que $f(x)>v$ .

Creo que la forma más directa de demostrar que el límite superior es algún número es mostrar estas dos afirmaciones.