Compacto y cerrado

Question

Si todo subconjunto cerrado y propio de un espacio topológico $X$ es compacto, ¿entonces todo el espacio es necesariamente compacto?

La "inversa" de esta pregunta es conocida, por supuesto, pero tengo dificultades para establecer una prueba de ello. Además, tampoco se me ocurren contraejemplos.

Answer 1

Una definición equivalente de compacidad es la siguiente:

Un espacio $X$ es compacto si y sólo si toda familia de subconjuntos cerrados de $X$ con la propiedad de intersección finita tiene una intersección no vacía.

Decimos que una familia $\mathcal F$ de conjuntos tiene la propiedad de intersección finita si $F_1\cap\cdots\cap F_n\ne\varnothing$ , para cada $n$ y $F_1,\ldots,F_n\in\mathcal F$ . (Véase también aquí .)

Supongamos ahora que $\mathcal C$ es una familia de subconjuntos cerrados de $X$ con la propiedad de intersección finita, y $F\in\mathcal C$ con $F\ne X$ . Ya se da que $F$ es compacto. Entonces es evidente que la familia $$ \tilde{\mathcal C}\,=\,\big\{F\cap C: C\in\mathcal C\big\}, $$ es otra familia de subconjuntos cerrados de $X$ con la propiedad de intersección finita, y como también son subconjuntos cerrados de $F$ , que se supone compacta, la familia $\tilde{\mathcal C}$ tiene una intersección no vacía, y lo mismo ocurre con familia ${\mathcal C}$ .

Answer 2

Mi sugerencia:

Dejemos que $T$ sea el espacio topológico. Sea $U_{i}\neq\emptyset, i\in I$ ser una tapa abierta.

Dejemos que $i_{0}\in I$ y considerar $T^{'}:=T\setminus U_{i_{0}}$ . $T^{'}$ es un subespacio propio y por tanto existe un subconjunto finito $I_{F}\subset I$ tal que $\left\{U_{i}\right\}_{i\in I_{F}}$ es una tapa abierta para $T^{'}$ pero esto significa que $\left\{U_{i}\right\}_{i\in I_{F}\cup\left\{i_{0}\right\}}$ es una cubierta abierta finita para $T$ .

Lo he editado dos veces, en esta versión no necesito el lema de Zorn. Comprueba si me he olvidado de algo, por favor :-)