Dejemos que $\mathfrak{N}$ sea la clase de todos los finito no abeliano grupos y definir $\nu: \mathfrak{N} \rightarrow \mathbb{N}_{\gt 1}$ por $\nu(G)=|\{{1} \leq N \leq G: N$ normal en $G\}|$ . ¿Es el mapa $\nu$ ¿subjetivo? En otras palabras, para cualquier número entero positivo $n \gt 1$ ¿existe siempre un grupo no abeliano con exactamente $n$ ¿subgrupos normales? Ejemplo: si $n$ es una potencia (no trivial) de $2$ entonces está garantizado: tomar un producto directo de $n$ copias de un grupo simple no abeliano.
Respuestas
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La respuesta es sí. Deje que $p$ sea un primo impar, y consideremos el grupo diédrico de orden $2p^n$ :
$$G = D_{2p^n} = \langle x, y \mid x^2 = y^{p^n} = 1, x^{-1}yx = y^{-1} \rangle$$
Entonces los subgrupos normales propios de $G$ son precisamente $\langle y^d \rangle$ , donde $d$ es un divisor de $p^n$ . Así, $G$ tiene exactamente $n+2$ subgrupos normales.
Onorio Catenacci
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Sí. Para $n \ge 1$ podemos construir ejemplos solucionables $G_n$ teniendo exactamente $n+1$ subgrupos normales que forman una cadena. Podemos empezar con $G_1 = C_2$ que es abeliana, pero serán no abelianas para $n>1$ y resolver su problema para $n=2$ hay que tomar un grupo simple no abeliano.
Supongamos que hemos construido $G_n$ con esta propiedad. Así que $G_n$ tiene un único subgrupo normal mínimo $N$ . Elija un primo $p$ y un irreducible ${\mathbb F}_pG$ -Módulo $V$ , de tal manera que $N$ no actúa trivialmente sobre $V$ . Ciertamente podemos hacerlo si elegimos $p$ no dividir $|G|$ . Entonces, como $N$ es el único subgrupo normal mínimo de $G_n$ , $V$ debe ser un módulo fiel. Ahora podemos definir $G_{n+1} = V \rtimes G_n$ y tiene las propiedades requeridas, con el subgrupo abeliano elemental $V$ siendo su único subgrupo normal mínimo.
Creo que probablemente se puede hacer esto también usando sólo dos primos alternados. Así, con los primos $2,3$ , podría elegir $G_1=C_2$ , $G_2=S_3$ , $G_3=S_4$ , $G_4=3^3:S_4 = {\tt SmallGroup(648,704)}$ , $G_5=2^6:3^3:S_4$ etc.
