Deje $\pi$ ser una irreductible unitaria representación de $G$, lo $\pi$ está en los discretos de la serie o es parabolically inducida. En el último caso, mediante la descomposición de $G=MANK$ donde $P=MAN$,
$$\pi\simeq {\rm Ind}_{MAN}^G(\sigma\otimes\nu\otimes 1)$$
que es la culminación de
$$\lbrace {\rm continuous}\ F:G\rightarrow V^\sigma|F(mang)=a^\nu\sigma(m)F(g)\rbrace$$
donde $\sigma$ es una representación del grupo compacto $M=P\cap K$ (con representación del espacio $V^\sigma$), $\nu$ indica el exponente de una representación de la división torus $A$, e $1$ denota el trivial representación de $N$ (utilizamos funciones continuas, de modo que podemos hacer sentido de pointwise valores, podríamos haber operado directamente en la conclusión si escribimos todo en términos de la derecha regular de la representación).
Si nos restringimos $\pi$$K$, se convierte en la finalización de
$$\pi|_K=\lbrace {\rm continuous}\ F:K\rightarrow V^\sigma|F(mk)=\sigma(m)F(k)\rbrace$$
que es exactamente $L^2(K,V^\sigma)$. Así que la pregunta es acerca de la descomposición de este espacio en irreducibles. Al $\sigma$ es el trivial de la representación, esto es, la descomposición de la $L^2(M\backslash K)$. Yo creo que esta descomposición es conocido (véase la sección 3.3.1 aquí, o Helgason libros, de los "Grupos Geométrica y Análisis" y "Geométrica Análisis sobre Simétrica Espacios"), pero no estoy seguro sobre el nivel de detalle. Este debe ser adaptable a los no-trivial $\sigma$, pero no sé si alguien se ha molestado en escribir. Al $M$ es abelian (por ejemplo, el $GL_n(\mathbb C)$ de los casos), usted debería ser capaz de hacer esto a mano.
Para las series de representaciones, ver Teorema 9.20 de Knapp "Teoría de la Representación de Semisimple Grupos [...]". En este caso, hay un tipo específico de $K$-tipo con un cierto peso más alto (en relación con el parámetro de la discreta serie) y todas las otras de mayor peso de $K$-tipos de traducciones de este uno por no negativo múltiplos positivos de las raíces.
