Cómo calcular un parámetro grupo y campos vectoriales correspondientes

Question

Tengo dos preguntas relacionadas a preguntar -

$1)$ Deje $\rho : \mathbb{R} \rightarrow G$ ser un grupo de parámetros. ($\mathbb{R}$$G$ son Mentira grupos). Si tomamos $G = S^1$, entonces la izquierda invariante vectorial de los campos de formulario de una $1-$D espacio vectorial generado por $X = x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}$ .

Ahora la imagen de $\frac{d}{dt}$ bajo el mapa de $t \mapsto (\cos at , \sin at)$ es compued a ser $aX$. Por lo tanto es la de un grupo de parámetros del campo de vectores $aX$. Puede alguien por favor me ayude en la comprensión de cómo hizo aterrizamos en $aX$ aquí? En general, ¿cómo podemos calcular un parámetro grupos?

Me he tomado el puño ejemplo del libro - Global Cálculo por S. Ramanan. Es dada en la Observación $3.16$. Y el segundo ejemplo del mismo libro - Ejemplo $3.1$

$2)$ Da un uno-grupo de parámetros de diffeomorphims, ¿cómo podemos calcular el vector de los campos asociados con él? Digamos, por ejemplo, $\phi_t(x) = x+t , (t \in \mathbb{R})$ ser un grupo de parámetros de diffeomorphims. ¿Cuál es el campo de vectores asociado con él?

Answer 1

Las dos preguntas están muy relacionadas; espero que esto va en la forma de ayudarte. He sido convenientemente vaga en los puntos para tratar de conseguir las ideas a través de pero feliz para tratar y atender cualquier inquietud (al mejor de mi capacidad!).

1) Dado un campo vectorial $X$, la pregunta que surge es: ¿esto dará lugar a una familia de curvas? Es decir, podemos encontrar una familia de curvas cuya tangente vectores son, precisamente,$X$.

Deje $X=\xi^{1}(x,y)\frac{\partial}{\partial x} + \xi^{2}(x,y)\frac{\partial}{\partial y}$ para algunos las funciones lisas $\xi^{i}(x,y)$ y definir una curva en $\mathbb{R}^{2}$ por:

$$\begin{align} \gamma:[a,b] &\longrightarrow \mathbb{R}^{2} \\ t &\longmapsto (x,y) = (\gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t)). \end{align}$$

El campo de vectores a lo largo de $\gamma$ es entonces

$$V^{\gamma} = \gamma_{*}\frac{d}{dt} = \frac{d\gamma^{1}}{dt}\frac{\partial}{\partial x}+ \frac{d\gamma^{2}}{dt}\frac{\partial}{\partial y}$$

donde $\gamma_{*}$ denota el empuje hacia adelante o tangente mapa. Por lo tanto $X$ es un vector tangente a la curva de si los componentes de $X$ $V^{\gamma}$ coinciden en $\gamma$:

$$\frac{d\gamma^{1}}{dt} = \xi^{1}(\gamma(t)), \quad \frac{d\gamma^{2}}{dt} = \xi^{2}(\gamma(t)).$$ A partir de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, las soluciones a este sistema siempre existen y que están unívocamente determinados por las condiciones iniciales: $\gamma^{1}(0)=x_{0}$$\gamma^{2}(0)=y_{0}$. La curva se dice entonces que empiece en el punto en $p=(x_{0},y_{0})$. Con el mapa de $\gamma$ a partir de a $p=\gamma(0)$ definido (la curva integral del campo vectorial $X$), luego podemos definir

$$\begin{align} \varphi_{t}:\mathbb{R}^{2} &\longrightarrow \mathbb{R}^{2} \\ p &\longmapsto \varphi_{t}(p) = \gamma(t) \end{align}$$

lo que puede ser demostrado ser un local de la familia de un parámetro de diffeomorphisms con la estructura de grupo que usted está pidiendo.

Si usted intenta esto con su campo de vectores $aX=ax\frac{\partial}{\partial y} - ay\frac{\partial}{\partial x}$, se obtiene, precisamente, el mapa de $\rho:t\mapsto (\cos(at),\sin(at))$, siempre que las condiciones iniciales $\rho^{1}(0)=1, \rho^{2}(0)=0$ se utilizan. Esto nos lleva a una familia de un parámetro de diffeomorphisms $\varphi_{t}$ (una de un grupo de parámetros), como se describe anteriormente.

2) La segunda pregunta ahora es a la inversa de la primera: dada una familia de un parámetro de diffeomorphisms, ¿cómo se encuentra asociado el vector de campo?

En el ejemplo, trabaja exclusivamente en la $\mathbb{R}$, así que vamos a permanecer allí (espero que las extensiones de mayores dimensiones que debería ser obvio). Tenemos una familia de un parámetro de diffeomorphisms:

$$\begin{align} \varphi_{t}: \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R} \\ x &\longmapsto y = \varphi_{t}(x) \end{align}$$

Esto induce a una curva de $\varphi_{x}$$\mathbb{R}$:

$$\begin{align} \varphi_{x}: [0,a] &\longrightarrow \mathbb{R} \\ t &\longmapsto y = \varphi_{x}(t) = \varphi_{t}(x) \end{align}$$

que comienza en $x$ ( $\varphi_{x}(0)=\varphi_{0}(x)=x$ ). Por lo tanto, podemos definir una curva que empieza en cada una de las $p\in\mathbb{R}$. Dado el conjunto de todas estas curvas podemos entonces definir un vector tangente en cada punto en $\mathbb{R}$. El vector tangente a $\varphi_{x}$ es simplemente

$$X = \varphi_{x*}\frac{d}{dt} = \left.\frac{d\varphi_{x}}{dt}\frac{\partial}{\partial x}\right|_{t=0}$$

Observe que el resultado se limita a $t=0$, ya que esto es donde la curva está definida para empezar.

El uso de este método con $\varphi_{x}(t)=x+t$ se obtiene el vector de $X=\frac{\partial}{\partial x}$.

Answer 2

Permítanme responder a su segunda pregunta primero (ya que es más fácil). Deje $\xi_a$ ser una familia de un parámetro de diffeomorphisms (así, por cada valor del parámetro real $a$, $\xi_a$ es un diffeomorphism), por ejemplo, en algunos colector $M$. Deje $f:M \to \mathbb{R}$ ser cualquier función suave en $M$. A continuación, considere la posibilidad de $f$ (compuesto) $\xi_a$. Para cada una de las $a$, esto también es una función suave en $M$. Así que (desde $a$ puede variar) es un de un parámetro de la familia de las funciones lisas. Llamarlo $f_a$. Ahora considere la posibilidad de $d f_a/da|$ (a $a = 0$). Esto, de nuevo, es una función suave en $M$. Por lo tanto, adquirir un mapeo de las funciones lisas para suavizar funciones. Se verifica que:

1. es aditivo;
2. satisface la La regla de Leibnitz; y
3. aniquila la constante de funciones.

Por lo tanto, hay algunos vector tangente campo, $\psi$, $M$ que $\psi(f)$ es de esta función. Este es el campo de vectores asociado con la familia $\xi_a$ de diffeomorphisms.

Como para la primera pregunta, no estoy muy seguro de lo que están pidiendo. Tenemos la Mentira de los grupos de $\mathbb{R}$ (aditivo reales) y $G$ (círculo); y tenemos esta asignación $\rho$ $\mathbb{R}$ $G$("envoltura de la línea alrededor de la circle"). Además, el $X$ que te dan es de hecho una izquierda-invariante campo de vectores en $G$; y toda la izquierda invariante en el campo de vectores es un constante múltiples de esta $X$. También tenemos el campo de vectores $d/dt$ en $\mathbb{R}$; y a su imagen, en $\rho$, de hecho es $X$. Ahora (creo$\ldots$) que desee considerar la posibilidad de un nuevo mapa de $\mathbb{R} \to G$. Fijar un número $a$, y permitir que el mapa enviar a$t$$\mathbb{R}$$(\cos at, \sin at)$$G$. Ahora, usted quiere tomar la imagen de este mismo viejo campo de vectores, $d/dt$, en virtud de este nuevo mapa. Esta imagen es, de hecho, el campo de vectores $aX$$G$. Allí hay un número de maneras de ver esto. Uno (el que no puede encontrar muy satisfactorio) es invocar el siguiente hecho. Para $\gamma(t)$ una curva en un colector $M$ (por lo $t$ en reales;$\gamma(t)$$M$), luego el vector tangente a la curva de $\gamma(at)$ (donde $a$ es un número) es, precisamente, $a$ veces el vector tangente a la curva original. Probablemente, esto no es lo que usted está pidiendo$\ldots$

Déjeme saber si usted tiene alguna pregunta adicional.

Answer 3

Existente Matemáticas de Intercambio de la Pila respuestas + cadena de referencias que hay, empezando con:

• Principiantes avanzados de libros de texto en la Mentira de la teoría desde un punto de vista geométrico

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