Las dos preguntas están muy relacionadas; espero que esto va en la forma de ayudarte. He sido convenientemente vaga en los puntos para tratar de conseguir las ideas a través de pero feliz para tratar y atender cualquier inquietud (al mejor de mi capacidad!).
1) Dado un campo vectorial $X$, la pregunta que surge es: ¿esto dará lugar a una familia de curvas? Es decir, podemos encontrar una familia de curvas cuya tangente vectores son, precisamente,$X$.
Deje $X=\xi^{1}(x,y)\frac{\partial}{\partial x} + \xi^{2}(x,y)\frac{\partial}{\partial y}$ para algunos las funciones lisas $\xi^{i}(x,y)$ y definir una curva en $\mathbb{R}^{2}$ por:
$$\begin{align}
\gamma:[a,b] &\longrightarrow \mathbb{R}^{2} \\
t &\longmapsto (x,y) = (\gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t)).
\end{align}$$
El campo de vectores a lo largo de $\gamma$ es entonces
$$V^{\gamma} = \gamma_{*}\frac{d}{dt} = \frac{d\gamma^{1}}{dt}\frac{\partial}{\partial x}+ \frac{d\gamma^{2}}{dt}\frac{\partial}{\partial y} $$
donde $\gamma_{*}$ denota el empuje hacia adelante o tangente mapa. Por lo tanto $X$ es un vector tangente a la curva de si los componentes de $X$ $V^{\gamma}$ coinciden en $\gamma$:
$$\frac{d\gamma^{1}}{dt} = \xi^{1}(\gamma(t)), \quad \frac{d\gamma^{2}}{dt} = \xi^{2}(\gamma(t)).$$
A partir de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, las soluciones a este sistema siempre existen y que están unívocamente determinados por las condiciones iniciales: $\gamma^{1}(0)=x_{0}$$\gamma^{2}(0)=y_{0}$. La curva se dice entonces que empiece en el punto en $p=(x_{0},y_{0})$. Con el mapa de $\gamma$ a partir de a $p=\gamma(0)$ definido (la curva integral del campo vectorial $X$), luego podemos definir
$$\begin{align}
\varphi_{t}:\mathbb{R}^{2} &\longrightarrow \mathbb{R}^{2} \\
p &\longmapsto \varphi_{t}(p) = \gamma(t)
\end{align}$$
lo que puede ser demostrado ser un local de la familia de un parámetro de diffeomorphisms con la estructura de grupo que usted está pidiendo.
Si usted intenta esto con su campo de vectores $aX=ax\frac{\partial}{\partial y} - ay\frac{\partial}{\partial x}$, se obtiene, precisamente, el mapa de $\rho:t\mapsto (\cos(at),\sin(at))$, siempre que las condiciones iniciales $\rho^{1}(0)=1, \rho^{2}(0)=0$ se utilizan. Esto nos lleva a una familia de un parámetro de diffeomorphisms $\varphi_{t}$ (una de un grupo de parámetros), como se describe anteriormente.
2) La segunda pregunta ahora es a la inversa de la primera: dada una familia de un parámetro de diffeomorphisms, ¿cómo se encuentra asociado el vector de campo?
En el ejemplo, trabaja exclusivamente en la $\mathbb{R}$, así que vamos a permanecer allí (espero que las extensiones de mayores dimensiones que debería ser obvio).
Tenemos una familia de un parámetro de diffeomorphisms:
$$\begin{align}
\varphi_{t}: \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R} \\
x &\longmapsto y = \varphi_{t}(x)
\end{align}$$
Esto induce a una curva de $\varphi_{x}$$\mathbb{R}$:
$$\begin{align}
\varphi_{x}: [0,a] &\longrightarrow \mathbb{R} \\
t &\longmapsto y = \varphi_{x}(t) = \varphi_{t}(x)
\end{align}$$
que comienza en $x$ ( $\varphi_{x}(0)=\varphi_{0}(x)=x$ ). Por lo tanto, podemos definir una curva que empieza en cada una de las $p\in\mathbb{R}$. Dado el conjunto de todas estas curvas podemos entonces definir un vector tangente en cada punto en $\mathbb{R}$. El vector tangente a $\varphi_{x}$ es simplemente
$$X = \varphi_{x*}\frac{d}{dt} = \left.\frac{d\varphi_{x}}{dt}\frac{\partial}{\partial x}\right|_{t=0}$$
Observe que el resultado se limita a $t=0$, ya que esto es donde la curva está definida para empezar.
El uso de este método con $\varphi_{x}(t)=x+t$ se obtiene el vector de $X=\frac{\partial}{\partial x}$.
