Asintótica del número de enteros que son sumas de tres cubos no negativos

Question

Que $c(n) $ es el número de números enteros distintos entre $0 $y $n $ de la % de forma $ a^3 + b^3 + c^3$, lo que significa la suma de $3$ cubos no negativos.

$C(n) = O( n \space \ln(n)^x ) $

Encontrar y demostrar el valor óptimo de $x$.

Answer 1

Tal vez esto podría ayudar:

La cantidad de cubos menores o iguales a $n$ es $\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor$. Si sólo tenemos $A^3+B^3$ $A^3+B^3+C^3$ obtenemos: $$C(n)=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\lfloor\sqrt[3]{n-1}\rfloor}\lfloor\sqrt[3]{n-i^3}\rfloor$ $ y $A^3+B^3+C^3$ (que es el resultado que usted desee): $$C(n)=\dfrac{1}{6}\sum_{i=1}^{\lfloor\sqrt[3]{n-2}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\sqrt[3]{n-i^3-1}\rfloor}\lfloor\sqrt[3]{n-i^3-j^3}\rfloor$ $ esta fórmula básicamente sólo comprueba si existe un $C$ para cada combinación de $A$ y $B$.