Convergencia de $a_{0} = 0, a_{n}=f(a_{n-1})$ cuando $|f'(x)|\leq \frac{5}{6}$

Question

Por el valor medio teorema es fácil mostrar que $|a_{n+1}-a_{n}| \leq \frac{5}{6}|a_{n}-a_{n-1}|$ para cada n.

Pensé entonces, de decir $|a_{n+1}-a_{n}| \leq ... \leq (\frac{5}{6})^{n}|a_{1}| \to 0$ y de alguna forma demostrar que ** si $M_{n}$ es el intervalo cerrado cuyos puntos extremos son $a_{n}$$a_{n-1}$$a_{n+1} \in M_{n}$, lo que implica $M_{n+1} \subseteq M_{n}$ y luego para terminar con el Cantor de la intersección teorema que nos da la convergencia de $a_{n}$.

Pero ni siquiera estoy seguro de si ** es correcto y ni siquiera he utilizado el hecho de que $a_{0} = 0$.

EDIT: después de la punta y un poco más de pensamiento he llegado a la siguiente:

Para cada $m\gt n$: $|a_{m}-a_{n}|\leq|a_{m}-a_{m-1}+a_{m-1}-...+a_{n-1}-a_{n}|\leq$
$\leq\sum_{k=n}^{m-1}|a_{k+1}-a_{k}|\leq|a_{1}|\sum_{k=n}^{m-1}(\frac{5}{6})^{k}\le$
$\le|a_{1}|\sum_{k=n}^{\infty}(\frac{5}{6})^{k}=|a_{1}|\frac{(\frac{5}{6})^{n}}{\frac{1}{6}}=6|a_{1}|(\frac{5}{6})^{n} \to 0$ y a partir de aquí es fácil mostrar que la sucesión es de Cauchy.

Por favor me corrija si he cometido un error.

Answer 1

Probablemente desee $|f'(x)|\le 5/6$. No es el caso que $a_{n+1}$ necesita se encuentran en el intervalo entre $a_{n-1}$y $a_n$. ¿Qué puede decir acerca de $|a_n-a_m|$? (El valor de $a_0$ no es relevante).