Si $B$ es finitamente generado como $k$-álgebra y $\phi:A\to B$ es un mapa de $k$-álgebra, es máxima para cualquier máxima $\phi^{-1}(M)$ $M\subset B$?

Question

Supongamos que $A$ $B$ son conmutativas los anillos que contienen un campo de $k$, e $B$ es finitely generadas $k$-álgebra. Deje $\phi: A\rightarrow B$ ser un anillo homomorphism con $\phi|_k =\mathrm{Id}$. Estoy tratando de demostrar que si $M\subset B$ es un ideal maximal, entonces $\phi^{-1}(M)$ es un ideal maximal de a $A$.

El caso de al $A \subset B$ es una parte integral de la extensión de los anillos es bien conocido. Creo que puede ser también el resultado al $\phi$ es surjective.

Inversa de la Imagen de la Máxima Ideales describe el caso cuando se $B$ es un finitely generadas $\mathbb{Z}$-álgebra, pero no estoy seguro de cómo generalizar este.