Explicar el propósito de la parte restante de esta prueba.

Question

Estoy dado que:=
$E\subseteq \mathbb R^n$ ser abierto y $f:E\to \mathbb R^n$ $C^1$ mapa . Supongamos que para algunos $a\in E$ , la lineal mapa de $f'(a)$ es invertible ,y $b=f(a)$ .Entonces :=
He de demostrar que :=

Hay conjunto abierto $U$ $V$ $\mathbb R^n$ tal que $a\in U,b\in V$ $f|_{U}$ es uno-uno y en $V$ es decir $f(U)=V$ .

La prueba en mis notas implica

$1.)$ primer demostrando $f:U\to \mathbb R^n$ es $1$-$1$ .

que me entiende.. no puedo entender el motivo de la parte restante de la prueba cuyo perfil se presento a continuación:

$2.)$ Contorno de la parte restante de la prueba:
Deje $V=f(U)$$b=f(a)\in V$ .A continuación, nos muestran que la $V$ está abierto . Deje $y_0=f(x_0)\in V $ y deje $r\gt 0$ es tal que $B=N(x_0,r)\subseteq U$$\overline B\subseteq U$.
Nos muestran que :
$N(y_0,\epsilon r)\in V$ $y_0$ es punto interior de a $V$ .Por lo tanto,a continuación, $V$ es abrir..

Estaré agradecido si hay alguien tan amable que me explique el motivo detrás de la $2.)$ y también no puedo entender por qué en ninguna parte en la prueba que hicimos probar $f:U\to \mathbb R^n$ a , mientras que fue demostrado en el comienzo de la prueba de que es $1$-$1$..

Gracias de antemano por cualquier ayuda...

Answer 1

No podemos demostrar que $f:U\to \Bbb R^n$ a, porque es falso. Considere la posibilidad de $\sin x$ $U$ siendo un barrio de $x=0$.

En el primer paso que demostrar que existe un conjunto abierto $U$ en el que la función de $f$ es inyectiva.

Entonces usted recordar un teorema básico que para cualquier función inyectiva con la llegada igual a su rango de lectura ($f: U\to V$) es invertible.

En el segundo paso demostrar que la imagen de $V=f(U)$ de este conjunto también está abierto.

La motivación que hay detrás de todo es el teorema a demostrar que si la diferencial de una función es invertible en algún momento (es decir, su matriz de cero no determinante), entonces la función es invertible, es el pequeño vecindario de ese punto.