Encontrar el valor de $\frac{1}{n(n+1)}$ $n\rightarrow \infty$ no cambia el valor $L$ del límite de la serie, si nos encontramos con el límite de telescopar la serie $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$. Por qué sucede esto que si se sigue que no podemos asignar ningún significado definitivo a la suma de una serie infinita de términos, sin primera ordenándoles que de alguna manera definitiva.
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Anthony Shaw
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Recuerde que $$ \sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)}=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m\frac1{n(n+1)} $$ Ahora hemos convertido la serie hasta el límite de una secuencia de finito de sumas. Con finito de sumas de dinero, que no tiene que preocuparse acerca de la convergencia condicional. En la mayoría de los casos donde hay un condicionalmente convergente la serie, o aquí en donde un par de series divergentes, involucrados, lo mejor es convertir la serie, con un límite de una secuencia de finito de sumas.
A continuación, expanda el término por medio de fracciones parciales y realizar el telescópica: $$ \begin{align} \sum_{n=1}^m\frac1{n(n+1)} &=\sum_{n=1}^m\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\\ &=\sum_{n=1}^m\frac1n-\sum_{n=2}^{m+1}\frac1n\\ &=1+\sum_{n=2}^m\frac1n-\sum_{n=2}^m\frac1n-\frac1{m+1}\\ &=1-\frac1{m+1} \end{align} $$ Todas las sumas justo encima son finitos, por lo que todas las manipulaciones que hemos hecho son buenas. Ahora, sólo tenemos que tomar el límite de $m\to\infty$: $$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)} &=\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac1{m+1}\right)\\ &=1 \end{align} $$
Hay un famoso teorema de Riemann que dice que por un condicionalmente convergente la serie, podemos reordenar los términos, de modo que la serie converge para cualquier límite o incluso diverge.
Una serie de $a_1 + a_2 + a_3 +\cdots$ se dice que converge absolutamente si la serie $|a_1|+|a_2|+|a_3|+\cdots$ converge. Si un covergent de la serie no converge absolutamente, entonces converge condicionalmente.
Por una absolutamente convergente la serie puede reordenar los términos, sin embargo, te gusta y que siempre obtendrá el mismo límite. Es sólo para condicionalmente convergente la serie que el orden de los asuntos.
En el ejemplo que usted da, $n \ge 1$, por lo que tenemos $$\frac{1}{n(n+1)} = \left|\frac{1}{n(n+1)}\right|$$
Eso significa que la serie converge si, y sólo si, converge absolutamente. Eso significa que si la serie tiene un límite, decir $L$, entonces todos los límites de todas las posibles re-ordenado de la serie también se $L$.
