¿Tarjetas de número par?

Question

Hay $15$ cartas sobre una mesa, marcada con un número entero $1$ $15$. ¿De cuántas maneras puedo tomar cartas tales que la suma de los números de las tarjetas es aún? ¿Por favor, ayúdame?

Answer 1

Consejo: Para cualquier subconjunto de las primeras tarjetas de $14$ ($1, 2,..., 14$), hay exactamente una forma de completar mediante el uso o no uso tarjeta $15$, con el fin de hacer la suma uniforme.

Answer 2

Enfoque de la función generadora.

Que %#% $ #%

donde $$f(x)=\prod_{i=1}^{15} \left(1+x^i\right)=\sum_{j=0}^{15\cdot 16/2} a_jx^j$ es el número de maneras de obtener un total de $a_j$ de tomar cartas.

Luego buscas $j$. $\frac{f(1)+f(-1)}{2}$, Por lo que usted está buscando $f(-1)=0$.

Eso incluye tomar cero tarjetas a cero, por lo que puede el % de respuesta $\frac{f(1)}{2}=2^{14}$.

Answer 3

Utilizando el hecho de que la suma de dos cartas impares es par o una sola, incluso de la tarjeta es aún.Si quieres, incluso las tarjetas se deben tomar en estos quanta.

El número de maneras en que usted puede tomar cartas(total 7) es [o más]: $$2^7=128\text{ ways }$$ El número de maneras en que usted puede tomar pares de cartas impares(en total 8 tarjetas, 4 pares en un momento) es la misma que la de tomar incluso la cantidad de impares que enfrentan las tarjetas, es decir: $$\sum_{k=0}^{4}\binom8{2k}=2^{7}=128\text{ ways }\quad\left(\because \sum_{k=0}^{n/2}\binom n{2k}=2^{n-1}\right)$$ Total $2^7.2^7-1=2^{14}-1=16383$, [ menos un caso en el que tanto quanta tener cero tarjetas.] Similiarly puede ser mostraron que para n tarjetas de es $2^{n-1}-1$

Answer 4

Sugerencia: 7 cartas tienen números pares y 8 tarjetas de números impares. Usted puede tomar cualquiera de las tarjetas incluso, y usted debe tomar un número par de cartas impares. Calcular ambas cantidades por separado, luego se multiplican.

Answer 5

Una forma oportunista fácil Olimpiada de estilo listillo prueba de que el resultado general derivada por Aditya (que también podríamos haber llegado directamente de simetría del triángulo de Pascal)

• En el caso general con n cartas, hay $2^n$ maneras de escoger un subconjunto de la partición (por ahora, incluyen el conjunto vacío).
• En nuestro caso específico, n=15, hay un número par de cartas impares, de los cuales estamos obligados a elegir un par subconjunto de cartas impares, y cualquier número de incluso tarjetas.
• Pero tenga en cuenta que para cada partición válida $P = \{p_i\}$, existe exactamente una partición correspondiente $P'$ que no es válido; podemos elegir para la construcción de $P'$ por $P' = U \setminus P$ o $P' = \{15 - p_i\}$. (Ambas son válidas porque tanto cambiar el número de cartas impares (desde n=15 había un número impar de cartas impares. Si n fue incluso esto sería un poco más difícil).
• Por lo tanto $#P = #P'$. Desde $#P + #P' = 2^n$, se deduce que el $#P = 2^n-1 -1$ (en la que finalmente excluir el conjunto vacío).