Decaimientos semileptónicos del $B_c$ mesón

Question

Estoy luchando con el cálculo de la exclusiva semileptónica $B_c^+\rightarrow J/\psi l^+\nu_l$ decadencia. Aprendí que la amplitud viene dada por un producto de la corriente leptónica $L^{\mu}$ y la corriente hadrónica $H^{\mu}$ $$ \mathcal{M}(B_c\rightarrow J/\psi l^+\nu_l)=\frac{G_F}{\sqrt{2}}V_{cb}L^{\mu}H_{\mu} $$ donde $V_{cb}$ es el parámetro CKM, $L^{\mu}$ y $H^{\mu}$ se expresan como $$ L^{\mu}=\bar{u}_l\gamma^{\mu}(1-\gamma^5)v_{\nu},\quad H^{\mu}=\langle J/\psi|J^{\mu}(0)|B_c\rangle $$ donde $J^{\mu}$ es el $V$ - $A$ corriente débil. Sin embargo, no sé cómo se puede obtener este resultado. ¿Podría alguien proporcionarme ayuda?

Hay un segundo problema. En el nivel del árbol, tenemos el siguiente diagrama de Feynman

Si calculamos $\bar{b}\rightarrow\bar{c}l^+\nu_l$ como una desintegración de tres cuerpos en la teoría electrodébil (no la aproximación de cuatro fermiones adoptada anteriormente), ¿cómo se relaciona con $B_c^+\rightarrow J/\psi l^+\nu_l$ ?

Answer 1

Para este proceso, el Hamiltoniano de interacción viene dado por:

$$\mathcal{H}_{\rm int}=-\frac{g}{\sqrt 2}\left(V_{cb}\bar{b}_L\gamma^\mu c_L W^-_\mu+\bar{\nu}_L\gamma^\mu\ell_L W^+_\mu\right).$$

Después de integrar los bosones pesados, obtenemos el siguiente Hamiltoniano

$$\mathcal{H}_{\rm eff}=-\dfrac{G_F}{\sqrt{2}}V_{cb}[\bar{b}\gamma^\mu(1-\gamma_5)c][\bar{\nu}\gamma^\mu(1-\gamma_5)\ell],$$ donde $G_F/\sqrt{2}=g^2/(8 m_W^2)$ es la constante de Fermi.

Para obtener la amplitud a nivel de árbol para el proceso $B_c\to J/\psi \ell^+ \nu$ consideramos el siguiente elemento matricial

$$\mathcal{A}(B_c\to J/\psi \ell^+ \nu)=-i\langle J/\psi \,\ell^+\, \nu_\ell |\mathcal{H}_{\rm eff} | B_c\rangle. $$ Si escribes explícitamente los campos leptónicos en términos de operadores de creación y aniquilación, entonces notarás que $$\mathcal{A}(B_c\to J/\psi \ell^+ \nu)=i \dfrac{G_F}{\sqrt{2}}V_{cb}\bar{u}_\nu \gamma^\mu (1-\gamma_5) v_\ell \langle J/\psi| \bar{b}\gamma^\mu(1-\gamma_5)c| B_c\rangle.$$

Obsérvese que hemos aislado el elemento de la matriz hadronix del resto. Ahora, si somos capaces de encontrar este elemento utilizando los métodos de la QCD de celosía o los resultados experimentales, entonces podremos calcular la tasa de desintegración y otros observables. [Sin embargo, no creo que esto sea posible para esta transición en particular en la actualidad].

Para tu segunda pregunta, si consideras sólo los quarks de valencia en los mesones, entonces estás utilizando una aproximación a nivel de árbol para describir los estados hadrónicos. Se trata de una aproximación burda, porque la QCD es no-perturbativa a bajas energías. Puedes mejorarla calculando correcciones de alto orden de la QCD, pero nunca tendrás un resultado fiable.