¿Si se conoce el valor de una medida de cualquier subconjunto de un generador de una álgebra de la sigma, será la medida para la álgebra de la sigma también únicamente determinada? ¡Gracias!
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Considerar la Borel $\sigma$-álgebra $\mathcal B(\mathbb R)$, y la clase $\mathcal C:=\left\{(a,+\infty),a\in\mathbb R\right\}$. Luego, la clase $\mathcal C$ genera $\mathcal B(\mathbb R)$. Considerar el recuento de medida $\mu$$\mathcal B(\mathbb R)$, es decir $\mu(B)=\begin{cases} \operatorname{card} A&\mbox{ if }A \mbox{ is finite, }\\\ +\infty&\mbox{ otherwise,} \end{casos}$ y la medida de Lebesgue. Estas medidas tienen el mismo valor de los elementos de la $\mathcal C$, pero ya que por ejemplo,$\{0\}\in\mathcal B(\mathbb R)$, e $\mu(\{0\})=1\neq \lambda(\{0\})=0$, estas medidas no pueden ser el mismo.
Sin embargo, podemos demostrar el siguiente resultado:
Deje $\mu$ $\sigma$- finito medida en un espacio medible $(X,\mathcal S)$, $\mathcal A$ un álgebra que genera $\mathcal S$ $\mu_1,\mu_2$ dos medidas en $\mathcal S$ tal que para cada $A\in\mathcal A$, $\mu_1(A)=\mu_2(A)=\mu(A)$.
A continuación, $\mu_1(B)=\mu_2(B)$ por cada $B\in\mathcal S$.
Anthony Cramp
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Reto Meier
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Considere la posibilidad de arrojar dos monedas. Deje $A$ ser el caso de que la primera moneda es la cabeza, y $B$ el caso de que la segunda moneda es la cabeza. $A$ $B$ generar la $\sigma$-álgebra de todos los eventos posibles. Supongamos que sabemos que $P(A) = P(B) = 1/2$ (es decir, cada moneda es imparcial). Esto no es información suficiente para determinar si las dos monedas son independientes, por lo $P$ no está totalmente determinada.
Este es el mismo contraejemplo que me dio en esta respuesta a otra pregunta. En su nota, $P$ $Q$ está de acuerdo en que los acontecimientos en la $\mathcal{L}$, e $\sigma(\mathcal{L}) = \mathcal{F}$, pero $P \ne Q$.
André Caldas
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Considerar el $\sigma$-álgebra de todos los subconjuntos de $\{a,b,c\}$. Que es generado por $A = \{a,b\}$ y $C = \{b,c\}$. Que $\mu(A) = \mu(C) = 1$.
Podría ser que $\mu(\{a\}) = \mu(\{b\}) = \mu(\{c\}) = \frac{1}{2}$. También podría ser que $\mu(\{a\}) = \mu(\{c\}) = \frac{1}{3}$ y $\mu(\{b\}) = \frac{2}{3}$.
Michael Greinecker
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Se trata de un fortalecimiento de la condición suficiente presentada por Davide Giraudo.
Que $(X,\Sigma)$ ser un espacio medible y $\mathcal{F}$ una familia de conjuntos medibles tales que
- $\Sigma=\sigma(\mathcal{F})$ y
- $\mathcal{F}$ está cerrada bajo intersecciones pares.
Entonces cualquier medida de $\sigma$-finito cuya restricción a $\mathcal{F}$ es finito está totalmente determinado por su restricción a $\mathcal{F}$.
