Probar que f es diferenciable en $\mathbb{R}$

Question

Que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ algunos que funcionan todos los $x$ y $y$ $\mathbb{R}$ satisfacen: $$\left|f(x)-f(y)\right| \le (x-y)^2$ $

• Probar que f es diferenciable en el punto en $\mathbb{R}$.
• Probar que f es constante.

Answer 1

Tiene $|f(x)-f(y)|\le |x-y||x-y|$ $\displaystyle\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\le|x-y|$ apenas tome el límite como $x\to y$, obtendrá $|f'(y)|\le 0$(then $f'(y)=0)$ for all $y$ then $f$ is constant

Answer 2

Me gustaría señalar que es posible probar la afirmación sin probar differentiability en primer lugar.

Para cada x

$$|f(x)-f(0)| = |\sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}x)-f(\frac{k-1}{n})x|$$

Así por la desigualdad del triángulo

$$|f(x)-f(0)| \le \sum_{k=1}^n |f(\frac{k}{n}x)-f(\frac{k-1}{n}x)|$$

Puesto que para cada k

$$|f(\frac{k}{n}x)-f(\frac{k-1}{n}x)| \le |\frac{k}{n}x-\frac{k-1}{n}x| = |\frac{x}{n^2}|$$

Se sigue que

$$|f(x)-f(0)| \le \sum_{k=1}^n |\frac{x}{n^2}| = \frac{|x|}{n}$$

Y así

$$|f(x)-f(0)|\le \limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{|x|}{n} = 0$$

Por lo tanto, para todas las x

$$f(x)=f(0)$$

Por lo tanto f es constante. Se sigue que f es diferenciable por todas partes ;)

Answer 3

Fijarse que $a\in\Bbb R$ y $x\neq a$ y $$\left| \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right|\le|x-a|$ $ desde $\lim_{x\to a}|x-a|=0$, obtenemos $\lim_{x\to a} \left| \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right|=0$. Entonces es diferenciable en $f$ $a$.

Y $f'(a)=0$ % todo $a$, por el teorema del valor medio que obtenemos $ de $$f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)$ $c$. Desde $f'(c)=0$, obtenemos $f(x)=f(y)$, $f$ es constante.

Answer 4

Por definición de lo que significa ser diferenciable, que quieren demostrar que el límite de $$ \lim_{x\a y} \frac{f(x)- f(y)}{x-y} $$ existe para todas las $y\in \mathbb{R}$. Que va a seguir (en este caso) demuestre que $$ \lim_{x\a y} \left\lvert\frac{f(x)- f(y)}{x-y}\right\rvert $$ existe. Ahora usted tiene que $$ 0\leq \left\lvert\frac{f(x)- f(y)}{x-y}\right\rvert = \frac{\lvert f(x)- f(y)\rvert}{\lvert x-y\lvert} \leq \frac{\lvert x - y\rvert^2}{\lvert x - y\rvert} = \lvert x - y\rvert. $$ Ahora usted tiene $\lvert x - y\rvert \to 0$$x \to y$. Así que por el Teorema del encaje también debe tener $$ \lim_{x\a y} \left\lvert\frac{f(x)- f(y)}{x-y}\right\rvert = 0 $$ Y así $$ \lim_{x\a y} \frac{f(x)- f(y)}{x-y} = 0 $$ Eso significa que $f$ es diferenciable y que la derivada en cualquier número de $y$ cero: $f'(y) = 0$.

Como otros ya han mencionado esto significa que $f$ debe ser una constante: Si usted ha $f(x) \neq f(y)$ algunos $x$$y$. A continuación, por el Valor medio Teorema tendría un $c$ $x$ $y$ tal que $0\neq f(x) - f(y) = f'(c)(x-y) = 0$. Esto es una contradicción, por lo que, de hecho, $f(x) = f(y)$ todos los $x$$y$.