Teoría de (Z, +) tiene uncountably muchos tipos de 1

Question

Estoy trabajando en algunos ejercicios de teoría de modelos, pero en este caso no sé cómo empezar. Por favor ayudenme a solucionar esto.

Demostrar que $\text{Th}(\mathbb{Z},+)$, la teoría de la estructura $(\mathbb{Z},+)$, tiene uncountably muchos $1$-tipos.

Answer 1

Una sugerencia es: ¿qué tipo de conjuntos se puede definir en esta teoría? Pensar acerca de $\phi(x)=\exists y . x+py=c$.

Una respuesta directa, se da por darse cuenta de que, por cualquier $c\in \prod_p \mathbb Z/p\mathbb Z$ donde $p$ rangos de los números primos, cada conjunto finito de fórmulas de la forma $\exists y . x+py=c_p$ es realizable. Por el lema de Zorn podemos elegir una completa 1-tipo de $t_c$ ampliar el conjunto de $\{\exists y . x+py=c_p \mid p\text{ prime}\}$, y si $c\neq c'$$t_c\neq t_{c'}$. Si desea eliminar el uso del axioma de elección, usted tendrá que definir la completa 1-tipos directamente por ser más cuidadosos (sugiero buscar profinite enteros).