Estoy tomando un pregrado GR curso, y nuestro texto (Lambourne) menciona covariante y contravariante de vectores y tensores ad nauseum, pero nunca realmente da una definición formal de lo que son y cómo son únicas de cada uno de los otros en cualquier sentido físico (aparte de la diferencia de las transformaciones). Hay alguna intuición física detrás de estas dos etiquetas? No debe ser, ¿verdad? Si difieren en cómo se transforman con la transformación de coordenadas, que no indique que tiene que haber alguna forma de visualizar su diferencia, ya que a transformaciones de coordenadas se pueden visualizar fácilmente?
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lionelbrits
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Todo este asunto del covariante vs contravariante es muy de la vieja escuela. Algunos muy antiguos textos ir en formas de visualizar esto. Yo sugeriría que en lugar de aprender acerca de los vectores de tangentes (contravariante) y 1-formas (covariante) y la equivalencia entre los vectores de tangentes y derivadas direccionales.
Asociar el vector $\vec{v}$ con el operador de la derivada de $\vec{\frac{d}{d\lambda}}$ diciendo que no es una curva parametrizada por $\lambda$ que ha $\vec{v}$ como es el vector tangente.
Del mismo modo, asociado a la función de $f$ 1 formulario a -$df$. Una 1-forma es lineal en el mapa de vectores de tangentes en los números reales. 1-formulario de $df$ asigna un vector tangente $\vec{\frac{d}{d\lambda}}$ en el número real $df \left( \vec{\frac{d}{d\lambda}} \right) \equiv \frac{df}{d\lambda}$.
Una vez que usted se sienta cómodo con esta idea, te darás cuenta de que podemos introducir un sistema de coordenadas $x^i$ y tangente vectores $\frac{\partial}{\partial x^i}$ y una formas de $dx^i$. Tenga en cuenta que a partir de nuestra regla, $dx^i \left( \vec{\frac{\partial}{\partial x^j} } \right) = \delta^i_j$.
Luego puede parametrizar la curva con las funciones $x^i(\lambda)$. Tenga en cuenta que a partir de la regla de la cadena
$\vec{ \frac{d}{d\lambda} } = \frac{\partial x^i}{\partial \lambda} \vec{\frac{\partial}{\partial x^i}}$
y usted puede utilizar lo que hemos producido hasta ahora para demostrar que
$df = \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i$.
Cuando todo está dicho y hecho, se puede demostrar que
$df \left( \vec{\frac{d}{d\lambda}} \right) = \frac{\partial x^i}{\partial \lambda} \frac{\partial f}{\partial x^j} \delta_i^j = \frac{df}{d\lambda}$
es coordinar independiente, como debe ser.
A partir de ahí, se puede definir arbitraria tensores como multilineal mapas de tomar $n$ 1-formas y $m$ vectores en los números reales. La utilidad de esta construcción es que es muy geométrica y, al mismo tiempo, no atado a las coordenadas (resumen). Usted nunca tiene que preguntarse de qué manera una cosa se transforma, porque siempre, de manera natural.
Os recomiendo coger un buen libro sobre geometría diferencial para los físicos. Geométrico de los Métodos de la Física Matemática por Schutz está bien, su GR libro es probablemente más útil. La biblia por Misner, Thorne y Wheeler va a gran profundidad en este negocio y ha práctico visualizaciones de las n-formas si usted está tan inclinado.
Dori
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1325
Aquí es una visualización de Geométrico de los Métodos de la Física Matemática por Schutz. El co-vector es que aquí se ha llamado una "forma". Su notación $\langle \tilde{\omega} , \bar{V} \rangle$ es equivalente a $\omega_\alpha V^\alpha$, que puede ser utilizado a ver.
Tenga en cuenta que cuando la magnitud de $\bar{V}$ aumenta, la flecha se hace más largo. Cuando la magnitud de $\tilde{\omega}$ aumenta, las superficies paralelas obtener más juntos.
Físicamente, los vectores y covectors no son significativamente casi tal cual esta en cada uno de los otros. Matemáticamente, se puede definir como el espacio dual de la original, por lo que tienen todas las mismas propiedades. Usted puede cambiar lo que uno es la flecha y que el conjunto de líneas paralelas en esa foto. Si usted elige los desplazamientos a ser el prototipo de vectores, a continuación, otras cantidades a ser vectores o covectors dependiendo de cómo estén relacionados con los desplazamientos. Por ejemplo, las velocidades son sólo los derivados de los desplazamientos, por lo que son también vectores. Los gradientes de la ley sobre desplazamientos para producir escalares, por lo que son co-vectores.
RichieACC
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935
Los tensores (o más bien tensor de campos en el caso de la geometría diferencial) son muy genéricos y no intuitivo de los objetos que pueden llenar un montón de papeles - elementos de volumen, endomorphisms, métricas de Riemann son solo algunas de las cosas que se pueden describir con los tensores.
Sin embargo, para obtener una intuición acerca de la co - y contravarianza, es suficiente con mirar a los vectores de tangentes y covectors, que puede ser visualizado y son los bloques de construcción de mayor rango de los tensores.
En geometría diferencial como tradicionalmente se enseña en cursos de física (matemáticos dejado de hacerlo de esta forma, hace algunas décadas), nosotros siempre trabajo en los gráficos (es decir, las coordenadas locales).
Un vector sería un vector columna $$ \begin{pmatrix} v^1\\\vdots\\v^n \end{pmatrix} = (v^i)_{i=1}^n=v^i $$ y un covector un vector de fila $$ \begin{pmatrix} w_1&\cdots&w_n \end{pmatrix} = (w_i)_{i=1}^n=w_i $$ con la dualidad de emparejamiento $$ \begin{pmatrix} w^1&\cdots&w^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v^1\\\vdots\\v^n \end{pmatrix} =\sum_{i=1}^n w_iv^i = w_iv^i $$ Como en general no hay una lista mundial, tenemos que especificar la transformación de las leyes y hacer nuestros vectores y covectors de clases de equivalencia con respecto a estas transformaciones.
El tranformations están dadas por la matriz de Jacobi de la coordenada de la transición y su inversa, la cual es obviamente necesario para mantener vinculaciones invariante.
Ahora, las coordenadas de los vectores de transformación frente a los vectores de la base - son contravariante - mientras que los componentes de covectors de transformación de la misma manera como vectores de la base - son covariantes.
Usted puede encontrar la opinión de que la diferencia entre los vectores y covectors realmente no importa como en la relatividad general, usted puede subir y bajar los índices de como le parezca, que culmina en la idea de que sólo hay un único objeto geométrico - el vector con los compañeros y contravariante de los componentes.
Que es en mi opinión una muy buena idea: sólo funciona si hay un distinguido no degenerada forma bilineal disponibles y normalmente, hay un 'natural' de la colocación de los índices debido a la geometría, que incluso podría ser relevante para el modelo de conceptos físicos (por ejemplo, velocidad vs impulso en el contexto de la Lagrangiana y Hamiltoniana de la mecánica).
Además de estas definiciones técnicas de los vectores y covectors (que hacen que tenga algún sentido geométricamente una vez que introduce principales paquetes y asociados vector de paquetes, pero eso no es algo que normalmente se hace en los cursos de física), por supuesto, hay más geométrica:
Se puede considerar un vector de una clase de equivalencia de curvas a través de la misma con el punto primero de la orden de contacto. Del mismo modo, un covector sería una clase de equivalencia de funciones con valores en un punto dado con la primera orden de contacto.
Si queremos componer los representantes de un covector y un vector, se obtiene una función de $\mathbb R\to\mathbb R$ y la evaluación de su derivada nos da la natural vinculación.
También hay definiciones abstractas disponibles: podemos identificar con los vectores de sus derivadas direccionales, es decir, un vector es un funcional lineal en el espacio de funciones con valores que respeta la regla de Leibniz. Para covectors, hay un algebraicas definición como el ideal de un valor real de las funciones de fuga en un punto factorizada por el ideal generado por el producto de tales funciones.
En lugar de venir para arriba con las definiciones de los dos vectores y covectors, es suficiente para definir uno de esos manualmente (normalmente vectores) y definir el otro por la dualidad, es decir, como un valor real lineal mapas.
Ahora, si lo que desea es visualizar estos objetos (como en dibujar significativa de las imágenes), es obvio que la representación de los vectores es como poco flechas en el espacio de coordenadas. Ahora bien, si hay un distinguido no degenerada forma bilineal disponible, puede representar covectors a través de sus correspondientes vectores (el aumento de su índice) y el emparejamiento será sólo el producto escalar Euclídeo.
Una segunda manera de visualizar covectors sería como (orientado) hyperplane campos, con el emparejamiento como se describe en la Marca de la respuesta. Esto también hace que no funcione para arbitrario colectores - usted necesita una forma de volumen para hacerlo (esto es básicamente una variante de la Hodge dual con el último paso de la Wikipedia explicación se omite).
(Si usted no tiene un bilineal o forma de volumen disponible, usted podría, por supuesto, eligió un arbitray local).
WetSavannaAnimal aka Rod Vance
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Aunque esto está diciendo la misma cosa como Lionel respuesta y Marque la respuesta desde otro punto de vista, otra idea que me gusta, que describe el espacio de la tangente es pensar en el unidimensional $C^1$ espacio de la curva (o el espacio-tiempo de la curva) en el colector de $M$ como un concepto de puesta a tierra. Así que nuestra idea fundamental es alguna función ("Camino" o "Sendero") a través del colector de $M$ y centrada en algún punto de $p\in M$ que es constante para el presente:
$$\sigma:(-\epsilon,\epsilon) \subset \mathbb{R}\to M$$
tal que ${\rm d}_t \sigma(t)$ también existe en el mismo intervalo de $(-\epsilon,\epsilon)$ que $\sigma(0) = p\in M$$\sigma(\epsilon)\neq p$.
Después de todo unidimensional de las rutas, incluso si es muy ventoso, han hecho sentido para nosotros los humanos y animales relacionados desde que hemos necesitado para encontrar agua, comida y el camino de regreso a nuestra cueva!
Entonces, el espacio de la tangente $T_p M$ a punto de $p\in M$ es el conjunto de clases de equivalencia de tales caminos, donde se definen dos rutas de acceso $\sigma_1: (-\epsilon,\epsilon)\to M$ $\sigma_2: (-\epsilon,\epsilon)\to M$ "equivalentes" si su "tangentes" son los mismos en $p$, es decir, si : $\left.{\rm d}_t \sigma_1(t)\right|_{t=0} = \left.{\rm d}_t \sigma_2(t)\right|_{t=0}$. Podemos entonces definir fácilmente múltiplos escalares de las tangentes y las adiciones de las tangentes: aquí debemos tener un poco de cuidado, porque lo que estamos haciendo es por supuesto implícitamente etiquetado $M$ con uno de sus atlas de las cartas del modo que estamos implícitamente pensando en rutas como las funciones de $\sigma:(-\epsilon,\epsilon) \to \mathbb{R}^m$ y su "tangentes" ${\rm d}_t \sigma:(-\epsilon,\epsilon) \to \mathbb{R}^m$ donde $m$ es el colector de la dimensión y esto es cómo nos comparamos las rutas y los declaran "equivalente" en el sentido indicado anteriormente. De lo contrario, en general, no hay ninguna noción de los lineales de las operaciones de ampliación de la escala y de la adición en el colector de sí mismo $M$.
Así que ahora "contravariante" vectores (o simplemente llanura de vectores) son objetos que viven en dicha tangente espacios.
Bueno, todo esto es largo de explicar, pero mi punto es que yo en realidad cosa de wiggly, retorcidos "hilos" en la familia (el último definido por esta equivalencia) cuando pienso en vectores tangente y no poco flechas. Esto es algo que personalmente me parece muy útil como uno se puede imaginar algo "real" dentro del colector de sí mismo (y, de manera implícita a través de un gráfico, dentro de nuestro acogedor y wonted amigo $\mathbb{R}^m$) y no simplemente un poco de idea de "flechas" pegado todo el colector por algún vándalo del graffiti!
Así que ahora, con este concepto, tomemos Marca la Respuesta de imaginar la forma - o lo que usted está llamando a un vector covariante (o a veces covector). En realidad, me parece la idea de un doble espacio vectorial bastante limpio, así que generalmente se sientan con el matemático de la idea de un formulario. En finito dimensionales $\mathbb{R}^m$, un vector dual - lineal funcional $\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ es siempre un producto interior como en la Marca de la respuesta (esta afirmación es lo mismo que decir que $\mathbb{R}^m$ es un completo espacio métrico) y, de hecho, puede ser representado por sus "componentes" - los valores de los funcionales de los vectores de la base de $T_p M$, con todos los valores en $T_p M$, después de la linealidad. Así que este (co), vector (una forma) únicamente define el vector ortogonal a (modulo un multiplicativo constante). La distancia entre el nivel de los planos de esta lineal funcional define la "longitud" de la covector.
- si usted desea conseguir mano dura, esto es, donde la Representación de Riesz Teorema viene en el escenario - aunque usted no necesita nada, como toda la fuerza de este teorema para discutir las ideas aquí.
Ahora, si su fondo es la óptica, como yo, tienes una muy fuerte y un ejemplo concreto de la forma. Es decir, el vector de onda $\tilde{k}$. Esta forma de una bestia interior de los productos de $\left<\tilde{k},\,\underset{\sim}{r}\right>$ con vectores de posición $\underset{\sim}{r}$ para darle la fase local de la onda plana componente que representa. La tasa máxima de cambio de fase en radianes por metro es la longitud de la covector $\tilde{k}$.
De hecho, en Minkowsky el espacio-tiempo, los cuatro wavevector es una forma - un covector:
$$\tilde{k} = (\omega,-k_x,-k_t,-k_z);\qquad \omega = \sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}\,c$$
Ahora, para ir a la arbitraria de valencia tensores, si no tienes algunas de las referencias en Lionel o Marca de respuestas, una gran discusión introductoria se da en el primer capítulo de Kip Thorne física de 136 supuesto que se puede descargar desde aquí. Él habla acerca de todas estas ideas en términos funcionales lineales y "slots" para los componentes, más bien como va a ir sobre la representación y almacenamiento de estas ideas en la memoria de la computadora (con un countably infinito tamaño de palabra, por supuesto, para representar a los números reales, exactamente!).
Un aparte sobre las referencias: no estoy del todo seguro de que Schutz del GR libro es una buena referencia para la geometría como lo que solía ser (como Lionel hace). Cierto, no incluir la discusión de la forma como usted y Marca la respuesta de describir, pero cosas como la Mentira de derivados y mucho de los otros geométrica de discusión que en su libro ha tenido para hacer el camino para la ampliación de los capítulos de GR evidencia experimental y problemas. Creo que Schutz incluso dice algo sobre el uso de su geometría libro junto con una segunda lectura de su "primer curso de GR" en el último prefacio. Así que tienen un examinar cuidadosamente el contenido de cualquier libro que usted podría estar pensando en la compra de una copia anterior de Schutz puede encajar mejor con usted.
