Ejemplo de una función no algebraica$\ell^2$ - en dos variables

Question

Vamos a llamar a un $\ell^2$-función de $\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ algebraico si es que en la imagen de la natural álgebra homomorphism $\ell^2(\mathbb{N}) \otimes \ell^2(\mathbb{N}) \to \ell^2(\mathbb{N} \times \mathbb{N})$, donde en el lado izquierdo tenemos en cuenta la costumbre, no completó producto tensor. En otras palabras, $f(m,n)$ es algebraicas iff puede ser escrito como $\sum_{i=1}^{k} g_i(m) h_i(n)$ algunos $k \in \mathbb{N}$ $\ell^2$funciones $g_i,h_i$. Probablemente hay abstracto razones para la existencia de funciones no algebraicas. Pero me gustaría saber un ejemplo claro de una $\ell^2$-función junto con una concisa y completa prueba de que no es algebraico. Por ejemplo:

Pregunta. Puede usted dar una prueba de que el $\ell^2$-función de $(n,m) \mapsto \dfrac{1}{2^{n \cdot m}}$ no es algebraico?

Answer 1

Colin McQuillan la respuesta es concisa, correcta, pero difícil de entender para tipográficos razones: No debe ser algunas de las letras debajo de las flechas.

Voy a elaborar el uso de la función de $f(m,n):=2^{-mn}$ sugerido por el OP como ejemplo. Para cualquier $p\in{\mathbb N}$ ($p\times p)$- matriz $$F_p:=\bigl [f(m,n)\bigr]_{1\leq m\leq p, \ 1\leq n\leq p}$$ es esencialmente una matriz de Vandermonde y por lo tanto tiene rango $p$, lo $p$.

Por otro lado, para cualquiera de las dos funciones de $g,\ h\in\ell^2$ el producto tensor $t:=g\otimes h$ está definido por $t(m,n):=g(m)\ h(n)$. La matriz correspondiente $$T_p:=\bigl [t(m,n)\bigr]_{1\leq m\leq p, \ 1\leq n\leq p} =\bigl [g(m)\ h(n)\bigr]_{1\leq m\leq p, \ 1\leq n\leq p}$$ tiene rango de $\ (\leq )\ 1$, lo $p$, ya que todos sus filas son múltiplos de los vectores $(h(1),h(2),\ldots,h(p))$. Si se nos da $k\geq 1$ tales pares $g_i$, $h_i$ y poner $q:=\sum_{i=1}^k g_i\otimes h_i$, entonces la matriz de $$Q_p:=\bigl [q(m,n)\bigr]_{1\leq m\leq p, \ 1\leq n\leq p}$$ es una suma de $k$ rango-una de las matrices y, por tanto, tiene rango de $\ \leq k$, lo $p$. De ello se desprende que $Q_p\ne F_p$ tan pronto como $p>k$; donde la función de $f$ a la del ejemplo no es "algebraica", como se define en el OP.

Answer 2

Una función algebraica tiene un rango limitado (ya sea como un tensor, o en este caso como una matriz). De modo que$f(n,m)$ be$1/2^n$ if$n=m$ y cero en caso contrario. Para todos$p$ la composición$\{1,\cdots,p\}\times\{1,\cdots,p\}\to \mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{C}$ es una$p\times p$ matriz de rango completo. Si$f$ es algebraico entonces esta matriz es$\sum_{i=1}^k g_i(m)h_i(n)$ que tiene rango como máximo$k$.