Estados singulares y triples: ¿Por qué el $S=0$ Estado definido como es?

Question

Estoy trabajando en un ejercicio sobre el acoplamiento de espín de dos electrones. Ahí tenemos las funciones de onda correspondientes a los valores de S como

$$\begin{align} S = 1: &\begin{array}{c}\uparrow\uparrow \\ \dfrac{1}{\sqrt 2}(\uparrow\downarrow+\downarrow \uparrow) \\ \downarrow\downarrow\end{array} \\[5mm] S = 0: &\ \frac{1}{\sqrt{2}} (\uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow) \end{align}$$

Entiendo que las tres funciones de onda para $S=1$ son simétricos y el de $S=0$ es antisimétrico. Mi pregunta es, ¿por qué la combinación con el signo menos es la de $S=0$ ?

Mi opinión es que en un $\uparrow \downarrow$ o $\downarrow\uparrow$ combinación la $S_z$ componentes ya sumaría $0$ para que el signo menos no cambie nada en el hecho de que $S=0$ .

¿O es que $\downarrow\uparrow$ o $\uparrow\downarrow$ representan cada uno un estado con $S=1$ y $S_z = 0$ de modo que al restar una de la otra se obtiene $S=1-1=0$ ?

Answer 1

Tiene razón en que uno de los $S = 1$ estados tiene un momento angular nulo a lo largo del $z$ eje. Sin embargo, el $S = 0$ el estado tiene un momento angular nulo a lo largo de cualquier y esto se deduce directamente de la presencia del signo menos.

Para ver por qué, considere el operador de giro a lo largo de una dirección general, $S_{\hat{n}}$ . Como los giros son idénticos, no importa qué giro es, por lo que $$\langle \uparrow \downarrow | S_{\hat{n}} | \uparrow \downarrow \rangle = \langle \downarrow \uparrow | S_{\hat{n}} | \downarrow \uparrow \rangle = \alpha(\hat{n}).$$ Además, el operador $P$ que intercambia los giros no afecta $S_{\hat{n}}$ porque $$P S_{\hat{n}} = P \left(S_{\hat{n}}^1 + S_{\hat{n}}^2 \right) = S_{\hat{n}}^2 + S_{\hat{n}}^1 = S_{\hat{n}}$$ lo que implica además que $$\langle \uparrow \downarrow | S_{\hat{n}} | \downarrow \uparrow \rangle = \langle \downarrow \uparrow | S_{\hat{n}} | \uparrow \downarrow \rangle = \alpha(\hat{n}).$$ Esta es toda la información que necesitamos para evaluar el giro a lo largo del $\hat{n}$ dirección para los dos estados que das. Para el $S = 1$ estado, encontramos $$\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = 2\alpha$$ mientras que para el $S = 0$ estado encontramos $$\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2} = 0.$$ Los términos cruzados recogen un signo menos, debido al signo menos de la superposición. Esto muestra que el singlete tiene espín cero en cualquier dirección.

Answer 2

Es importante recordar que cuando decimos $S=1, 0$ estamos pensando realmente en los estados propios y los valores propios de $\mathbf{S}^2 = (\mathbf{S}_1 + \mathbf{S}_2)^2$ . Prueba a aplicar este operador, y verás que los estados simétricos tienen valor propio $S=1$ y el antisimétrico tendrá el valor propio $S=0$ . Si simplemente está aplicando $\mathbf{S}_z$ que es lo que estás haciendo en el enunciado de tu pregunta, entonces definitivamente tanto los estados mixtos simétricos como antisimétricos tienen valor propio $j=0$ como usted ha señalado.

Answer 3

Sólo una visión ligeramente diferente utilizando el operador de intercambio $\hat P|m_1m_2 \rangle $ = $|m_1m_2 \rangle $

Mi pregunta es, ¿por qué la combinación con el signo menos es S=0?

Otra forma de verlo es:

$$\begin{align} S = 1: &\begin{array}{c}\uparrow\uparrow \\ \dfrac{1}{\sqrt 2}(\uparrow\downarrow+\downarrow \uparrow) \\ \downarrow\downarrow\end{array} \\[5mm] S = 0: &\ \frac{1}{\sqrt{2}} (\uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow) \end{align}$$

Los estados tripletes no se ven afectados por el intercambio de $ m_1\iff m_2$ mientras que el $S=0$ cambia el signo bajo el intercambio.

Utilizando $\hat P|m_1m_2 \rangle $ = $|m_1m_2 \rangle $ como operador de intercambio.

Esto da lugar a

$$\hat P \textrm{(triplet)} = \textrm{triplet} $$ Pero $$\hat P\textrm{(singlet)} = -~\textrm{ singlet} $$