¿Parciales continuas en un punto sin estar definidas en toda la vecindad y no diferenciables allí?

Question

Esta es la continuación de ¿Parciales continuos en un punto pero no diferenciables allí? pero voy a hacer que esta pregunta sea autónoma. En todo momento, $f$ denotará una función $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ . Una respuesta a Condición equivalente de diferenciabilidad en derivadas parciales cita un teorema que implica "Si $f_x$ y $f_y$ existen en $P$ y $f_x$ se define a lo largo de una vecindad de $P$ y $f_x$ es continua en $P$ entonces $f$ es diferenciable en $P$ .", que es más fuerte que lo que se encuentra en muchos textos de cálculo.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que esto no puede debilitarse a algo como "existe en casi toda una vecindad y es continua a lo largo de las trayectorias dentro de esa vecindad de todas las direcciones limitantes menos una". Un contraejemplo sería $f(x,y)=\sqrt[3]{xy}$ que tiene parciales que existen en el origen y que sólo se expanden a lo largo de algún eje (con el origen eliminado) de modo que los límites de un parcial a lo largo de trayectorias cuya dirección límite no es la dirección del eje del problema existen todos y coinciden. Pero $f$ es no diferenciable en el origen.

Me pregunto "¿es el hecho de que los parciales exploten el problema?" ¿O la mera inexistencia de los parciales arbitrariamente cerca del punto es suficiente para que la función sea indiferenciable? Más formalmente...

Mi pregunta: ¿Existe una función $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ tal que

1. $f_x$ y $f_y$ existen en $P$ .
2. $f_x$ se define en una vecindad de $P$ menos un rayo abierto (o una línea con $P$ borrado, si facilita las cosas).
3. $f_x$ es continua en $P$ en el sentido de que para todo $Q$ en el ámbito de $f_x$ y para todos $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ para que $\Vert P-Q\Vert<\delta\Rightarrow\Vert f_x(Q)-f_x(P)\Vert<\varepsilon$ .
4. $f$ no es diferenciable en $P$ .

Puede darse el caso de que la respuesta sea "no, porque ninguna función satisface de 1. a 3. sin $f_x$ que se define en una vecindad de $P$ por lo que 4. es imposible por el teorema del libro de Apostol", pero incluso si ese es el caso, me gustaría saberlo. La razón por la que me preocupa esa posibilidad es que sé que en el caso 1-d una derivada no puede tener discontinuidades de salto, y esto parece una cuestión similar (algo que recuerda a los cortes de rama). Además, las funciones ingenuas construidas a partir de $x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ tienden a ser diferenciables.

Answer 1

Si he entendido bien, un ejemplo sería el siguiente. Definir $f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ como $$f(x,y) = \begin{cases}y, & \text{if }y \ge 0 \text{ or }x \le 0,\\-y,&\text{otherwise}\end{cases}$$ y tomar $P = (0,0)$ . Entonces $f_x = 0$ en el exterior $\{{0\}} \times (-\infty,0)$ , $f_y(0,0) = 1$ pero $f$ no es diferenciable en $(0,0)$ .