¿Cuántas palabras de 5 letras de ABRACADABRA?

Question

¿Cuántas cadenas de 5 letras diferentes se pueden formar utilizando las letras de la palabra ABRACADABRA si se permiten letras duplicadas pero ninguna letra se puede usar más veces de las que aparece en la palabra?

Aunque esto parece ser un duplicado, hay un matiz en mi pregunta que estoy a punto de explicar:

Según una clave de respuestas, son 1271 porque

si establecemos las variables vwxyz, hay 5! formas, lo cual entiendo, pero

si hay una letra repetida

vvxyz, entonces hay $3*4*(5!/2!)$ formas y así sucesivamente, ¿Pero por qué es $3*4*(5!/2!)$? ¿por qué se multiplican el 4 y el 3?

Me preguntaba si hay 5! configuraciones con 2! letras repetidas, ¿no sería simplemente $\frac{5!}{2!}$?

Answer 1

Solo consideremos el caso en el que solo hay un par de letras repetidas, como VVXYZ.

Tienes razón al pensar que VVXYZ tiene $5!$ configuraciones con $2!$ letras repetidas, por lo que la cantidad de formas de organizar VVXYZ es $\frac{5!}{2!}$.

Pero no solo estamos organizando VVXYZ en este ejemplo. Hay muchas formas de obtener un par de letras repetidas, como AABRC o BBRCD o RRCDA...

Por lo tanto, hay 3 posibilidades para el par de letras repetidas (ya sea AA, BB o RR) - por eso es necesario multiplicar por 3.

Luego, para cada par de letras repetidas, hay cuatro posibilidades (técnicamente, 4C3) para las letras restantes (como AABRC, AABRD, AABCD, AARCD). Es por eso que también es necesario multiplicar por 4.

Answer 2

Coeficiente multinomial: ABRACADABRA o 12314151231 tiene el tipo $1^52^23^24^15^1$. Entonces ${11 \choose 5,2,2,1,1}$.