Hay algo extraño en $\sqrt{ 4+ \sqrt{ 4 + \sqrt{ 4-x}}}=x$ y sus amigos

Question

Este puesto puede generalizarse a,

$$\begin{align} \sqrt{ 2+ \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2-x}}}=x&,\quad\quad x = -2\cos\left(\frac{8\pi}{9}\right)=1.8793\dots\quad\quad\quad \\ \\ \sqrt{ 4+ \sqrt{ 4 + \sqrt{ 4-x}}}=x&,\quad\quad x = 2\sum_{n=1}^3\cos\left(\frac{2\pi\, s_1(n)}{19}\right)=2.5070\dots\quad\\ \\ \sqrt{ 8+ \sqrt{ 8 + \sqrt{ 8-x}}}=x&,\quad\quad x = -1-2\sum_{n=1}^6\cos\left(\frac{2\pi\, s_2(n)}{37}\right)=3.3447\dots\\ \\ \sqrt{ 14+ \sqrt{ 14 + \sqrt{14-x}}}=x&,\quad\quad x =\, \color{red}? \pm 2\sum_{n=1}^{\color{red}{7\,?}}\cos\left(\frac{2\pi\, s_3(n)}{\color{red}{63\,?}}\right)=\dots\quad\quad\quad\quad\\ \\ \sqrt{ 22+ \sqrt{ 22 + \sqrt{22-x}}}=x&,\quad\quad x = -1+2\sum_{n=1}^{16}\cos\left(\frac{2\pi\, s_4(n)}{97}\right)=5.2065\dots\\ \\ \sqrt{ 32+ \sqrt{ 32 + \sqrt{ 32-x}}}=x&,\quad\quad x = -2-2\sum_{n=1}^{23}\cos\left(\frac{2\pi\, s_5(n)}{139}\right)=6.1716\dots \end{align}$$

y así sucesivamente, donde las secuencias $s_k(n)$ son,

$$\begin{aligned} s_1(n) &= 2, 3, 5.\\ s_2(n) &= 2, 9, 12, 15, 16, 17.\\ s_3(n) &=\, \color{red}?\\ s_4(n) &= 4, 6, 9, 10, 11, 14, 15, 17, 21, 23, 25, 26, 32, 35, 39, 48. \end{aligned}$$

etc. Obsérvese que elevando al cuadrado repetidamente, obtenemos,

$$((x^2 - a)^2 - a)^2 - a + x = 0$$

que tiene dos cúbicos factores cuando $a=k^2+k+2$ con el $x_i$ anteriores como sumas de $\cos(z)$ y una raíz de la misma familia cúbica,

$$x^3 + k x^2 - (k^2 + 2k + 3)x - ((k + 1)^3 - k^2)=0$$

Esto tiene un discriminante negativo, $D =-(4k^2+6k+9)^2$ lo que implica que todas las raíces son reales.

$$\begin{array}{|c|c|c|} k&a&\sqrt{D}\\ 0&2&9\,i\\ 1&4&19\,i\\ 2&8&37\,i\\ 3&14&\color{red}{63}\,i\\ 4&22&97\,i\\ 5&32&139\,i\\ \end{array}$$

Preguntas:

1. ¿Puede alguien encontrar la secuencia $s_3(n)$ ? (He utilizado el PowerMod pero sólo funciona para primos).
2. ¿Por qué los demás tienen constante (a saber $-1,-1,-2$ ) sumada a la suma de cosenos? ¿Podemos predecir su valor, o sólo se puede encontrar por ensayo y error?

Answer 1

(En esta respuesta he cambiado $x$ con $-x$ )

El polinomio $((x^2-14)^2-14)^2-x-14$ factores en los dos cúbicos con grupos galois cíclicos (ya hice el trabajo en Exploración de puntos de 3 ciclos para iteraciones cuadráticas )

$(x^3 + 4x^2 - 11x - 43)(x^3 - 3x^2- 18x + 55)$ , cuyos discriminantes son $49^2$ y $63^2$ .

Ambas cúbicas tienen todas las raíces reales, por lo que podemos suponer que las raíces se encuentran en $\Bbb Z[2\cos (2\pi/49)]$ y $\Bbb Z[2\cos (2\pi/63)]$ (Utilizo el hecho de que el anillo de enteros de $\Bbb Q(\zeta_n)$ es $\Bbb Z[\zeta_n]$ ).

Para el primer cúbico, $(\Bbb Z/49 \Bbb Z)^*/\{\pm 1\}$ sólo tiene un cociente isomorfo a $C_3$ que corresponde a $\Bbb Z[2\cos(2\pi/7)]$ . Pero si intentas formar la suma de cosenos dada por el subgrupo acabas con $0$ por lo que se trata de un caso en el que las raíces NO tienen la forma conjeturada.

Para el segundo cúbico, $(\Bbb Z/63 \Bbb Z)^*/\{\pm 1\}$ es isomorfo a $C_2 \times C_3 \times C_3$ por lo que tiene varios cocientes isomorfos a $C_3$ .

Para identificar qué cociente corresponde a las extensiones cíclicas cúbicas, podemos elegir un primo pequeño para cada clase de equivalencia y ver cuándo esos factores se dividen (tienen una raíz) o permanecen irreducibles. Haciendo esto obtenemos el subgrupo $H = \{\pm 1, \pm 5, \pm 8, \pm 11, \pm 23, \pm 25\}$ .

Entonces mirando el coset de $\pm4$ obtenemos $2(\cos(8\pi/63)+\cos(38\pi/63)+\cos(40\pi/63)+\cos(52\pi/63)+\cos(58\pi/63)+\cos(62\pi/63)) = -5.25884526118409\ldots$

Si llamamos $A,B,C$ las cantidades $\sum_{k \in H} 2 \cos(2ka\pi/63)$ para $a=1,2,4$ respectivamente, volviendo a su $x$ tenemos $x = -1-C$

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En el caso general, si la raíz debe ser de la forma $n + m A + p B$ entonces sumándolo con sus conjugados obtenemos que $3n + (m+p).(A+B+C)$ es el coeficiente de $-x^2$ en el cúbico, que es $\frac {1 \pm (2k+1)}2$ (dependiendo del factor)

Desde $A+B+C = \mu(4k^2+6k+9)$ si pudiéramos adivinar qué $m$ y $p$ van a ser cuando esto es distinto de cero, esto determinaría $n$ (y también posiblemente qué factor es el correcto). Evidentemente, si $|m|=1$ y $p=0$ , $n$ va a estar cerca $\pm k/3$

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Supongamos que $\delta = 4k^2+6k+9$ es un primo $p$ .

Entonces $k \neq 0 \pmod 3$ y $p \equiv 1 \pmod 3$ . Además, el módulo del campo de división de $X^3 - kX^2 -(k^2+2k+3)X + (k^3+2k^2+3k+1)$ (cuyo discriminante es $-p^2$ ) es de la forma $(p^m)$ . Dado que su grupo de Galois es cíclico de orden $3$ su módulo es $(p)$ (los poderes superiores no introducen $C_3$ factor), y el subgrupo correspondiente $H$ es el grupo de los cubos módulo $p$ .

Sea $x$ sea una raíz de ese polinomio. Como el discriminante es tan pequeño y $\Bbb Q$ no tiene ninguna extensión con discriminante $-1$ podemos deducir que el anillo de enteros de $\Bbb Q[x]$ es $R = \Bbb Z[x] = \langle 1,x,x^2 \rangle$ . Si $\sigma$ es el símbolo de reciprocidad en $2$ entonces $\sigma(x) = x^2-(k^2+k+2)$ y así $R = \langle 1,x,\sigma(x) \rangle$ .

Desde $x+\sigma(x)+\sigma^2(x) = k$ dejando que $d = (k \pm 1) /3$ tenemos $(x-d)+\sigma(x-d)+\sigma^2(x-d) = k-(k \pm 1) = -\pm 1$ por lo que obtenemos $R = \langle 1,(x-d),\sigma(x-d)\rangle = \langle x-d, \sigma(x-d),\sigma^2(x-d)\rangle$ y hemos encontrado una base normal integral para $R$ .

Por otra parte, puesto que tenemos una base normal integral para $\Bbb Z[\zeta]$ tenemos otra base normal integral para $R$ que es $\langle \sum_{n \in H} \zeta^{bn} \mid b=1,2,4\rangle$

Pero las bases integrales normales son muy raras. Si tienes una $\langle a,b,c \rangle$ y otro con $a' = xa+yb+zc$ entonces $b' = xb+yc+za, c' = xc+ya+zb$ por lo que el índice de $\langle a',b',c' \rangle$ en $\langle a,b,c \rangle$ viene dado por el determinante que puede factorizarse en $(x+y+z)(x+\zeta_3y+\zeta_3^2z)(x+\zeta_3^2y+\zeta_3z)$ . Como esto tiene que ser igual a $\pm 1$ y puesto que sólo hay $6$ unidades en $\Bbb Z[\zeta_3]$ podemos deducir rápidamente que $a' \in \{\pm a, \pm b, \pm c\}$ .

Esto demuestra que $x = d \pm \sum_{n \in H} \zeta^{bn}$ con $b \in \{1,2,4\}$ .

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Esto todavía puede llevarse a cabo cuando $\delta$ es libre de cuadrados y compuesto si suponemos que el módulo no es un divisor estricto de $\delta$ .

En $\delta$ no está libre de cuadrados y la suma de cosenos es distinta de cero, la última mitad puede adaptarse para que funcione (base de la forma $\langle 1,x,\sigma(x)\rangle$ con $x+\sigma(x)+\sigma^2(x) = 0$ también son muy pocos), pero no estoy seguro de cómo demostrar que $\langle 1,x,x^2\rangle$ es una base integral para el anillo de los números enteros.

Answer 2

Separación explícita: $$(x^{3}-3x^{2}-18x+55)(x^{3}+4x^{2}-11x-43)=(x-1-\sum_{t=0}^{1}\sum_{k=0}^{5}\cos(\frac{2\pi }{63}\cdot2^{3t}\cdot5^{k}))\cdot(x-1-\sum_{t=0}^{1}\sum_{k=0}^{5}\cos(\frac{2\pi }{63}\cdot2^{3t+1}\cdot5^{k}))\cdot(x-1-\sum_{t=0}^{1}\sum_{k=0}^{5}\cos(\frac{2\pi }{63}\cdot2^{3t+2}\cdot5^{k}))\cdot (x+6\cos\frac{3\pi }{7}+2\cos\frac{\pi }{7})\cdot(x+3-4\cos\frac{3\pi }{7}-6\cos\frac{\pi }{7})\cdot(x+1-2\cos\frac{3\pi }{7}+4\cos\frac{\pi }{7})$$ {2,5} es un conjunto generador de $(\mathbb{Z}/63\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_6 \times \mathrm{C}_6$ .