Una prueba rigurosa para una suma similar a Riemann

Question

Se me pide que encuentre el límite de la suma siguiente:

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\sin{(\frac{k}{n})}\sin{(\frac{k}{n^2})} $$

Mi intento:

Para$n\rightarrow\infty$$1\leq k\leq n$:

$$ \sin{\frac{k}{n^2}}\approx \frac{k}{n^2} $$

Así

$$ \sin{(\frac{k}{n})}\sin{\frac{k}{n^2}}\approx \frac{k}{n^2}\sin{(\frac{k}{n})}=\frac{1}{n}\frac{k}{n}\sin{(\frac{k}{n})} $$

Por lo tanto, obtenemos un reimann suma, por lo que el límite sería igual a:

$$ \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\frac{k}{n}\sin{(\frac{k}{n})}=\int_{0}^{1}x\sin{x}dx=\sin{1}-\cos{1} $$

Ahora la pregunta es, ¿cómo puedo probar esto con rigor, porque la forma "yo lo hice" es obviamente incorrecto, si alguien me puede orientar a través de una rigurosa prueba, sería perfecto.

Gracias de antemano.

Answer 1

Para cualquier$x\in[0,1]$ tenemos$x-\frac{x^3}{6}\leq\sin(x)\leq x$. Tenemos que$$ \lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^{n}\sin\left(\frac{k}{n}\right)\frac{k}{n^2} = \int_{0}^{1}x\sin(x)\,dx = \sin(1)-\cos(1)\tag{1}$ $ ya que$x\sin(x)$ es una función continua en$[0,1]$, de ahí una función integrable de Riemann.
Por la misma razón$$ \lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^{n}\sin\left(\frac{k}{n}\right)\frac{k^3}{n^4} = \int_{0}^{1}x^3\sin(x)\,dx = 5\cos(1)-3\sin(1)\tag{2}$ $ then$\sum_{k=1}^{n}\sin\left(\frac{k}{n}\right)\frac{k^3}{6n^6}=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ y se nos permite simplemente reemplazar$\sin\left(\frac{k}{n^2}\right)$ con$\frac{k}{n^2}$ en la suma dada: la diferencia de las sumas asociadas es despreciable para valores grandes De$n$.

Answer 2

Esto es similar a la respuesta de Jack D'Aurizio, pero creo que podría ser más claro usar una notación grande-O. Aquí podemos usar ese$\sin(x)=x+O\!\left(x^3\right)$: $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac{k}{n}\right)\sin\left(\frac{k}{n^2}\right) &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac{k}{n}\right)\left(\frac{k}{n^2}+O\left(\frac{k^3}{n^6}\right)\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac{k}{n}\right)\frac{k}{n}\frac1n+\lim_{n\to\infty}O\left(\frac1{n^2}\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac{k}{n}\right)\frac{k^3}{n^3}\frac1n\right)\\ &=\int_0^1\sin(x)\,x\,\mathrm{d}x+\lim_{n\to\infty}O\!\left(\frac1{n^2}\right)\int_0^1\sin(x)\,x^3\,\mathrm{d}x\\[3pt] &=\int_0^1\sin(x)\,x\,\mathrm{d}x\\[3pt] &=-\cos(1)+\int_0^1\cos(x)\,\mathrm{d}x\\[9pt] &=\sin(1)-\cos(1) \end {align} $$