derivada parcial de una función integral

Question

Dada la función $f(x,y) = \int^x_y g(t) dt $ , $g(t)$ continua para todos $t$ .

Cómo evaluar las derivadas parciales de $f$ ?

Es correcto hacer así (por FTC) ?:

$f_x$ = $g(x)x'$ .

$f_y = g(y)y'$ .

¡¡¡Gracias!!!

Answer 1

Dejemos que $a $ sea real, entonces

$$f (x,y)=\int_a^x g (t)dt-\int_a^y g (t)dt $$

$$=G (x)-G (y) $$ con $$G(X)=\int_a^X g (t)dt $$ y $$G'(X)=g (X) $$ desde $g $ es continua en $\mathbb R $ .

así

$$f_x (x,y)=G'(x)=g (x) $$ $$f_y (x,y)=-G'(y)=-g (y) $$

Answer 2

La "fórmula de Leibniz" es una generalización del "Teorema fundamental del cálculo": $$\frac{d}{dx}\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x, t)dt= f(x, \beta(x))- f(x, \alpha(x))+ \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} dt$$

Aquí, $f(x,t)$ es una función de t solamente, el límite superior de la integral es simplemente $x$ y el límite inferior sólo $y$ . Así que la derivada de la integral con respecto a $x$ es $g(x)$ y la derivada con respecto a y es $-g(y)$ .