Que $p>2$ ser un prime, $f(x)=\sum_{k=1}^{p-1}x^k/k$, $f(2)-f(-1)=m/n$, donde $\gcd(m,n)=1$. Mostrar que $p\mid m$.

Question

Que $p>2$ ser un prime y $f(x)=\sum_{k=1}^{p-1}x^k/k$. Supongamos que $f(2)-f(-1)=m/n$, donde $\gcd(m,n)=1$. Mostrar que $p\mid m$.

Teorema de Wolstenholme $\sum_{k=1}^{p-1}1/k$ no funciona aquí. Es fácil ver que sólo tenemos que demostrar que $$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{(p-1)!}{k}2^k\equiv\sum_{k=1}^{p-1}\frac{(p-1)!}{k}(-1)^k\pmod p.$$ According to Wilson's theorem we have $(p-1)! \equiv-1\pmod p$. If we denote by $k^{-1}$ the multiplicative inverse of $k$ in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, then this is $$\sum_{k=1}^{p-1}k^{-1}2^k\equiv\sum_{k=1}^{p-1}k^{-1}(-1)^k\pmod p.$$ I calculated the cases $p=3,5,7,11$ pero podría conseguir nada. ¿Cómo debe proceder? Cualquier sugerencias serán apreciadas.

Answer 1

Una oportunidad para una solución.

Poner $P(x)=f(x)-f(1-x)$, estamos trabajando en $\mathbb{F}_p(x)$. Como el derivado de $f$ $f^{\prime}(x)=\frac{x^{p-1}-1}{x-1}$, obtenemos

$$P^{\prime}(x)= \frac{x^{p-1}-1}{x-1}+\frac{(1-x)^{p-1}-1}{-x}$ $ Con que $(1-x)^p=1-x^p$, encontramos que el $P^{\prime}(x)=0$. Como un polinomio de grado $P$ $\leq p-1$, obtenemos que el $P$ es una constante. Ahora $P(0)=-f(1)$; $k\to 1/k$ es una biyección de $\{1,\cdots,p-1\}$ sobre sí mismo (en $\mathbb{F}_p$) y que $1+2+\cdots+p-1=\frac{p(p-1)}{2}=0$, tenemos $f(1)=0$, por lo tanto, $P=0$.

Ahora a poner $x=2$, y es fácil de terminar.