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En "triángulos" en un enrejado cuadrado

Un "pequeño triángulo" en una plaza de celosía se define como uno de cuyos vértices son no colineales celosía puntos, y cuyo límite y en el interior no contiene otra celosía puntos.

Recientemente me encontré con lo siguiente:

Reclamo: el área de cualquier triángulo pequeño" es 1/2 de la zona reticular de la unidad de la célula.

Estoy buscando una simple prueba de esta afirmación.


Veo que la demanda se mantenga si las siguientes condiciones se tiene:

Condición: el lado más corto de los más pequeños "celosía rectángulo"1 que contiene el pequeño triángulo que tiene una longitud de 1.

Entonces la reclamación de la siguiente manera desde la primaria fórmula $\frac{1}{2} b h$ para el área de un triángulo, ya que la condición implica que $b = h = 1$.


Esta condición, sin embargo, no se cumple para todos los triángulos pequeños. (De hecho, el triángulo definido por el entramado de puntos de $(0, 0), (1, 2),$ $(2, 3)$ es pequeño, y el más pequeño de celosía rectángulo que lo contiene tiene lados con longitudes $2$$3$.)

No es claro para mí que la demanda se mantenga para todos los pequeños triángulos que no cumplan la condición anterior.


Actualización

Una posibilidad es que la condición de arriba debe de haber sido parte de la definición de un triángulo pequeño, pero fue omitido por error. Después de todo, el contexto de la reclamación era una prueba del teorema de Pick, y me parece que esta prueba aún hubiera pasado a través de incluso si la definición de pequeños triángulos que se incluye la condición anterior.

IOW, si definimos un "pequeño triángulo" como cualquier pequeño triángulo que cumple la condición anterior, entonces uno podría derivar una prueba de la Recogida del teorema de la proposición de que el polígono en el teorema de la premisa de que siempre puede ser cubierto por un conjunto de pequeños triángulos. No tengo una prueba de esta última afirmación (cualquier cosa que se me ocurre sería probablemente un tedioso slog a través de un número de casos), pero a mí me parece muy plausible.


1 Por "celosía rectángulo" me refiero a un rectángulo con esquinas de celosía puntos, y cuyos lados son paralelos a los lados de la rejilla de la celda unidad.

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En el siguiente triángulo pequeño es una degenerada de triángulo con vértices en a ${\mathbb Z}^2$ que no contiene ningún otro entramado de puntos en su interior o de frontera. Aquí hay dos pruebas que un triángulo tiene área de ${1\over2}$.

${\bf 1.\ }$Vamos ${\bf 0}$, ${\bf p}=(p_1,p_2)$, y ${\bf q}$ ser los vértices de un triángulo pequeño $\triangle$. La celosía es simétrica con respecto al punto medio del segmento de $[{\bf p},{\bf q}]$. De ello se desprende que el cerrado paralelogramo $P$ con vértices ${\bf 0}$, ${\bf p}$, ${\bf p}+{\bf q}$, y ${\bf q}$ contiene ningún otro entramado de puntos.

En particular,${\rm gcd}(p_1,p_2)=1$, por lo tanto, no son enteros $j$, $k$ tal que $jp_1+kp_2=1$. Considerar el mapa de $T:\>{\mathbb R}^2\to{\mathbb R}^2$ con la matriz $$[T]:=\left[\matrix{j&k\cr -p_2&p_1\cr}\right]\ .$$ This map has determinant $1$ and therefore is area preserving. Moreover $T$ maps the lattice ${\mathbb Z}^2$ bijectively onto the lattice ${\mathbb Z}^2$. It follows that the parallelogram $\bar P:=T(P)$ no contiene celosía puntos que otros de sus vértices. Uno tiene $$T{\bf p}=(1,0),\qquad T{\bf q}=(\bar q_1,\bar q_2)\ ,$$ por el cual asumimos $\bar q_2\geq1$. La línea de $\bar y_2=1$ cruza el paralelogramo $\bar P$ en un segmento cerrado $\sigma$ de la longitud de la $1$. De ello se desprende que $\sigma$ contiene al menos un punto de celosía, que luego tiene que ser uno de los vértices superiores de $\bar P$. Esto implica $\bar q_2=1$ y le permite a la conclusión de que $$2\,{\rm area}(\triangle)={\rm area}(P)={\rm area}(\bar P)=1\ .$$

${\bf 2.\ }$ Vamos ${\bf 0}$, ${\bf p}$, ${\bf q}$ ser los vértices de un triángulo pequeño $\triangle$. La celosía es simétrica con respecto al punto medio del segmento de $[{\bf p},{\bf q}]$. De ello se desprende que el cerrado paralelogramo $P$ con vértices ${\bf 0}$, ${\bf p}$, ${\bf p}+{\bf q}$, y ${\bf q}$ contiene ningún otro entramado de puntos. Su área es un número natural $\geq1$.

La reclamación. Cualquiera de los dos puntos ${\bf x}\ne{\bf y}$ en el interior de $P$ son no equivalentes modulo de la celosía.

Prueba. Suponga que ${\bf x}=\lambda_1{\bf p}+\mu_1{\bf q}$ ${\bf y}=\lambda_2{\bf p}+\mu_2{\bf q}$ en el interior de $P$ son equivalentes modulo de la celosía. WLOG nos puede así asumir $$0<\lambda_1\leq\lambda_2<1,\qquad 0<\mu_1<\mu_2<1\ .$$ El punto de ${\bf z}:={\bf y}-{\bf x}=(\lambda_2-\lambda_1){\bf p}+(\mu_2-\mu_1){\bf q}\in P$, sería entonces un entramado punto, pero no un vértice de $P$ – una contradicción.

Corolario. Cualquiera de los dos traducido paralelogramos $P+{\bf j}$, $P+{\bf k}$ con ${\bf j}$, ${\bf k}\in{\mathbb Z}^2$, ${\bf j}\ne{\bf k}$, han desunido interiores.

Dado un $N\gg1$ $N^2$ copias $P+{\bf k}$, ${\bf k}\in[N]^2$, son, por tanto, casi discontinuo. Su unión es contenida en un cuadrado de lado de longitud $N+c$ $c$ independiente de $N$. De ello se sigue que $$N^2\>{\rm area}(P)\leq (N+c)^2\ ,$$ o $$2\,{\rm area}(\triangle)={\rm area}(P)\leq 1+{2c\over N}+{c^2\over N^2}\ .$$ Como $N$ es arbitrario, esto implica ${\rm area}(\triangle)={1\over2}$.

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