Un "pequeño triángulo" en una plaza de celosía se define como uno de cuyos vértices son no colineales celosía puntos, y cuyo límite y en el interior no contiene otra celosía puntos.
Recientemente me encontré con lo siguiente:
Reclamo: el área de cualquier triángulo pequeño" es 1/2 de la zona reticular de la unidad de la célula.
Estoy buscando una simple prueba de esta afirmación.
Veo que la demanda se mantenga si las siguientes condiciones se tiene:
Condición: el lado más corto de los más pequeños "celosía rectángulo"1 que contiene el pequeño triángulo que tiene una longitud de 1.
Entonces la reclamación de la siguiente manera desde la primaria fórmula $\frac{1}{2} b h$ para el área de un triángulo, ya que la condición implica que $b = h = 1$.
Esta condición, sin embargo, no se cumple para todos los triángulos pequeños. (De hecho, el triángulo definido por el entramado de puntos de $(0, 0), (1, 2),$ $(2, 3)$ es pequeño, y el más pequeño de celosía rectángulo que lo contiene tiene lados con longitudes $2$$3$.)
No es claro para mí que la demanda se mantenga para todos los pequeños triángulos que no cumplan la condición anterior.
Actualización
Una posibilidad es que la condición de arriba debe de haber sido parte de la definición de un triángulo pequeño, pero fue omitido por error. Después de todo, el contexto de la reclamación era una prueba del teorema de Pick, y me parece que esta prueba aún hubiera pasado a través de incluso si la definición de pequeños triángulos que se incluye la condición anterior.
IOW, si definimos un "pequeño triángulo" como cualquier pequeño triángulo que cumple la condición anterior, entonces uno podría derivar una prueba de la Recogida del teorema de la proposición de que el polígono en el teorema de la premisa de que siempre puede ser cubierto por un conjunto de pequeños triángulos. No tengo una prueba de esta última afirmación (cualquier cosa que se me ocurre sería probablemente un tedioso slog a través de un número de casos), pero a mí me parece muy plausible.
1 Por "celosía rectángulo" me refiero a un rectángulo con esquinas de celosía puntos, y cuyos lados son paralelos a los lados de la rejilla de la celda unidad.