¿Cualquier homomorfismo del anillo de $C_b(X)$ $C_b(Y)$ es continua?

Question

Espacio topológico $X$, que $C_b(X)$ denotan el conjunto de funciones continuas real valoradas acotados todos en $X$. Es una anillo w.r.t. pointwise adición y multiplicación de funciones y es un espacio métrico con respecto a la métrica del supremum (básicamente un Banach space w.r.t. la norma sup). ¿Si $X,Y$ son espacios topológicos entonces es cualquier homomorfismo del anillo de $C_b(X)$ $C_b(Y)$ continuo?

Answer 1

Sí; de hecho, cualquier homomorphism es (nonstrictly) la norma decreciente. Tenga en cuenta que para cualquier $r\in\mathbb{R}$ y $f\in C_b(X)$, $f(x)\leq r$ para todos los $x$ fib para cualquier número racional $q>r$, la función de $q-f$ tiene una raíz cuadrada en $C_b(X)$. Del mismo modo, $f(x)\geq r$ todos los $x$ fib para cualquier número racional $q<r$, $f-q$ tiene una raíz cuadrada en $C_b(X)$. Esto le da un anillo de la teoría de la definición de la sup norma: $\|f\|$ es el menor número real $r\geq 0$ tal que para cualquier $q\in\mathbb{Q}$ con $q>r$, $q-f$ y $f+q$ tienen raíces cuadradas en $C_b(X)$.

Ahora supongamos $F:C_b(X)\to C_b(Y)$ es un homomorphism y $f\in C_b(X)$. Deje $r=\|f\|$, lo $f-q$ $q+f$ tienen raíces cuadradas en $C_b(X)$ cualquier $q\in\mathbb{Q}$$q>r$. De ello se desprende que $F(f-q)=F(f)-q$ $F(q+f)=q+F(f)$ tienen raíces cuadradas en $C_b(Y)$ cualquier $q\in\mathbb{Q}$$q>r$. Desde $\|F(f)\|$ es el número más pequeño con esta propiedad, $\|F(f)\|\leq r$. Es decir, $\|F(f)\|\leq\|f\|$. De ello se desprende que $F$ es continua.

Answer 2

Para $x\in X$ el mapa de $\delta_x(f)= f(x)$ es lineal, multiplicativo y continua. Por otra parte, como los mapas de puntos separados en $C_b(X)$. Yo reclamo que por cualquier álgebra de Banach $A$, cada álgebra homomorphism $h\colon A\to C_b(X)$ es continua.

Prueba. Por el cerrado gráfico teorema, que solo tenemos que mostrar que $h$ ha cerrado gráfico. Supongamos que $(a_n)$ es un valor nulo de la secuencia en $A$$h(a_n)\to f$. A continuación, $\delta_x\circ h$ es lineal y multiplicativos, por lo tanto continua. Por lo tanto, $\delta_x(h(a_n))\to 0$ cualquier $x$. Por lo tanto, $h(a_n)\to 0$, y por lo $h$ es continua.

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_{La vieja respuesta para isomorphisms. En el caso de que $X$ es completamente regular, $C_b(X)$ es isométricamente isomorfo a $C(\beta X)$ donde $\beta X$ denota la Piedra-Čech compactification de $X$. Por lo tanto, si $X$ $Y$ son completamente regular, usted puede solicitar la Gelfand-teorema de Kolmogorov.}

_{Si $X$ $Y$ no son necesariamente completamente regular, usted puede usar la Albiac-Kalton criterio para ver que $C_b(X)$ $C_b(Y)$ son isométricamente isomorfos como álgebras de a $C(X^\prime), C(Y^\prime)$, respectivamente, para algunos compacto Hausdorff espacios de $X^\prime, Y^\prime$. Ahora estás en una posición a aplicar la Gelfand-teorema de Kolmogorov.}