Prueba combinatoria que $|ma-\sqrt{p_n}|$ obtener ' s arbitrariamente pequeño para infinitamente muchos $n$

Question

Dada una secuencia de números positivos, $\varepsilon_n$, que converge a cero, existe un>0 tal que para un número infinito de n hay un m para que $$|ma-\sqrt{p_n}|<\varepsilon_n$$ donde $p_n$ es el n-ésimo número primo. Tengo una prueba de este hecho produjo a continuación, pero se trata como un caso extremo de un lexema basado en Baire teorema. Hay un enfoque más directo que utiliza la teoría de los números o la combinatoria?

Lema: Vamos a $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ ser una función continua tal que para todos los $a>0$ tenemos $\lim\limits_{n\to \infty} f(na)=0$. A continuación,$\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=0$.

Podemos demostrar esto de la siguiente manera: Seleccione el $\varepsilon>0$ y el conjunto de $$E_n = \{x\colon |f(mx)|\leq \varepsilon \text{ for all }m\geq n\}=\bigcap\limits_{m\in \mathbb N} \{x\colon mx\in f^{-1}([-\varepsilon,\varepsilon])\}.$$ Each of these sets will be closed by the continuity of $f$, and by the definition of our function we have that $\mathbb R_+ = \bigcup\limits_{n\in \mathbb N} E_n$, so that by Baire's theorem at least $E_n$ tiene interior no vacío.

Así pues, tenemos un intervalo de $I=[a,b]$, y algunos entero positivo $n_0$ tal que para todo $n>n_0$, $f(nI)\subset [-\varepsilon,\varepsilon]$. También tenemos que si $n$ es lo suficientemente grande que $na<(n-1)b$, de modo que múltiplos enteros de este intervalo finalmente cubrirá la cola de la $\mathbb R_+$. Todos los $x$ lo suficientemente grande entonces estaremos en un gran número entero múltiplo de $I$, y así tenemos el $f(x)\in[-\varepsilon,\varepsilon]$. QED

Ahora a probar el enunciado de la pregunta, tome $f$ $1$ a la raíz cuadrada de los números primos, $0$ $\mathbb R_+ \setminus \bigcup (\sqrt{p_n}-\varepsilon_n,\sqrt{p_n}+\varepsilon_n)$ lineal y en otros lugares. Esta función no vaya a$0$$x\to \infty$, por lo que debemos tener de la existencia de al menos un punto de $a$ tal que

$$\lim_{m\to \infty}f(ma)\not\to 0.$$

De ello se desprende que $ma$ debe terminar en infinitamente muchos de los picos centrados sobre $\sqrt{p_n}$.

Answer 1

Esto se puede hacer utilizando un estándar de "satisfacer las $k$th condición en la $k$th paso" argumento.

Vamos a demostrar que existe una secuencia de, para cada número natural $k$, números naturales $n_k$ $m_k$ y un intervalo cerrado $I_k$ de distinto de cero de longitud, de tal manera que $I_{k+1}\subseteq I_k$ todos los $k$, y tal que para cada $k$, $m_k I_k \subseteq (\sqrt{p_n} -\epsilon_n, \sqrt{p_n}+\epsilon_n)$. Luego de tomar $a$ a ser cualquier número que figura en $I_k$ que hace el trabajo.

Para probar esto, podemos inductivo suponga que tenemos estos datos hasta el $k$, y tratar de construir $n_{k+1}, m_{k+1}, I_{k+1}$.

Lema: Para cada intervalo de $I_k$ en el positivo reales de distinto de cero de longitud, hay infinitamente muchos $n,m$$\sqrt{p_n} \in m I_k$.

La prueba: Los números primos son ilimitados, y como nota, todos lo suficientemente grandes números contenidos en $m I_k$ algunos $m$, por lo que todos lo suficientemente grande primer raíces cuadradas están contenidas en $m I_k$ algunos $m$.

Así podemos encontrar una $m$ e una $n$, que no se han recogido, con $\sqrt{p_n} \in m I_k$. Entonces la intersección de a $m I_k$ $(\sqrt{p_n} -\epsilon_n, \sqrt{p_n}+\epsilon_n)$ contiene un intervalo cerrado de cero de longitud. Tomar $n_{k+1} = n$, $m_{k+1} = m$, y $I_{k+1}$ a ser de este intervalo de tiempo, dividido por $m$, la cual está contenida en $I_k$ y también satisface $m_{k+1} I_{k+1} \subseteq (\sqrt{p_n} -\epsilon_n, \sqrt{p_n}+\epsilon_n)$.