¿Por qué es mentira ' s difícil tercer Teorema?

Question

Recordar la siguiente clásico teorema de Cartan (!):

Teorema (Mentira III): Cualquier finito-dimensional Mentira álgebra $\mathbb R$ es el álgebra de la Mentira de algunos analítica Mentira grupo.

Del mismo modo, se puede proponer "Mentira III" instrucciones para álgebras de Lie sobre otros campos, para super álgebras de Lie, Lie algebroids, etc.

La prueba de que yo sé de la clásica Mentira III es muy difícil: se requiere que la mayoría de la estructura de la teoría de álgebras de Lie.

Pero ¿por qué debería ser difícil? Por ejemplo, para un finito-dimensional Mentira álgebra $\mathfrak g$$\mathbb R$, el Panadero-Campbell-Hausdorff fórmula (el poder de la serie dada por $B(x,y) = \log(\exp x \exp y)$ en noncommuting variables $x,y$; puede ser escrito sólo con la Mentira de soporte, no hay multiplicación) converge en un abrir barrio de el origen, y así se define un unital asociativa grupo parcial de la operación (un barrio abierto en) $\mathfrak g$. ¿Qué sucede si se intenta simplemente pegar copias de este barrio?

Alternativamente, existen variaciones naturales de la Mentira III que son tan mal falso que cualquier fáciles de la prueba de la Mentira III está destinado a fracasar?

Answer 1

Esta pregunta se relaciona con el siguiente lugar profundo resultado: si $G$ es un finito dimensionales Mentira grupo, a continuación,$\pi_2(G)=0$.

El análogo declaración de falla por Mentira algebroids, como lo hace la Mentira III. El papel de Tseng y Zhu muestra que esto no es un accidente.

Mentira III puede ser interpretado como diciendo lo siguiente: la foliación del espacio de $\frak{g}$-conexiones en el 1-simplex asociados a infinitesimales medidor de transformación tiene un Hausdorff hoja de espacio.

Una conexión es una forma de $A\in\mathcal{A}=\Omega^1([0,1],\frak{g})$ con valores en la Mentira de álgebra $\frak{g}$. El infinitesimal medidor de acción está dado por la fórmula

$\delta_XA=dX+[A,X]$,

donde $X\in\Omega^0([0,1],\frak{g})$: estos vectores lapso de un integrable distribución en el espacio de la tangente de $\mathcal{A}$.

(Esta hoja de espacio es, entonces, el simplemente se conecta Mentira grupo asociado a $G$.) Me enseñaron este punto de vista por Raoul Bott.

Answer 2

Pegado de trozos de grupo, construidos a partir de la fórmula BCH es precisamente más o menos lo Serre hace demostrar el teorema (en la primera prueba que da en) su libro sobre grupos de Lie y álgebras de la mentira. [Serre, Jean-Pierre. Grupos de Lie y álgebras de Lie. conferencias de 1964 en la Universidad de Harvard. Segunda edición. Notas de la Conferencia en matemáticas, 1500. Springer-Verlag, Berlín, 1992. VIII + 168 pp.]

Answer 3

Existen álgebras de Lie que no son el álgebra de Lie de un grupo algebraico. (Ver aquí.) Que excluye algunas pruebas, pero no parece que sería un problema para el tipo de prueba analítica que se propone.

Answer 4

Creo que Serre dice en alguna parte (probablemente en la misma referencia personas han mencionado) que el tercer Teorema es más profunda (que no significa necesariamente más difícil), porque es falso para general grupos de modelado de Banach Lie y álgebras de Lie.

Answer 5

Usted puede encontrar a continuación de la prueba debido a la G. M; Tuynman, de la tercera Mentira teorema.

La prueba es similar a la utilización de Ado del teorema, sino que requiere un 'avanzado' resultado:

el hecho de que simplemente se conecta Mentira grupo $G$ no sólo la primera de Rham cohomology espacio de $H^1(G)=\{0\}$, pero también se $H^2(G)=\{0\}$.

http://ifile.it/hy0q139

He publicado una pregunta relacionada en math.stackexchange.com

http://math.stackexchange.com/questions/56899/elementary-proof-of-the-third-lie-theorem