¿Es el derivado de $n^{th}$ $\sin(x)$ sólo una traducción de $\sin(x)$?

Question

¿Me di cuenta de que $$\frac d{dx}\sin x=\cos x=\sin\left(x+\frac\pi2\right)$ $ $$\frac{d^n}{dx^n}\sin x=\sin\left(x+\frac{\pi n}2\right)$ $ es este para cualquier valor real positivo de $n$?

Si es así, ¿alguien tiene cualquier razonamiento de por qué es sólo una simple traducción?

Answer 1

Sí, estás en lo correcto acerca de los productos derivados (aunque, como se señaló en los comentarios y otras respuestas, sólo para los derivados naturales, es decir, la diferenciación de un número natural de veces (supongo que se puede generalizar a enteros si mantiene el derecho de elegir término constante para cada uno de los anti diferenciación)).

Como por la razón de que, me gusta pensar que de $\sin$ como una parte de un todo, es decir, como una coordenada de movimiento circular en la unidad de la velocidad a lo largo del círculo unidad en el plano. La velocidad es siempre perpendicular al vector de posición, por lo que gira a la misma velocidad, pero permanece $90^\circ$ por adelantado. El vector de velocidad de la gira en un movimiento circular, lo que significa que la aceleración también lo hagan, sólo es $90^\circ$ por delante del vector de velocidad. La sacudida del vector es $90^\circ$ por el vector de aceleración, y así sucesivamente.

Answer 2

No, no lo es. Por ejemplo, la derivada fraccionaria de orden $1/2$ es, según arce,

$$ \sqrt {2} \cos \left (x \right) \left {\it FresnelC} ({\frac {\sqrt {2 x}} {\sqrt {\pi}}} \right) + \sqrt {2} \sin \left (x \right) {\it FresnelS} \left ({\frac {\sqrt {2 x}} {\sqrt {\pi}}} \right) $$

EDIT: Hay de hecho varias definiciones. En el se utiliza aquí, $0 < n < 1$,

$$D^n f(x) = \frac{1}{\Gamma(1-n)} \int_0^x (x-t)^{-n} f'(t)\; dt $$

Answer 3

De hecho, sabemos que $$ \frac{d}{dx} \sin{x} = \cos{x} = \sin{\left( x + \frac{\pi}{2} \right) } $$ y, a continuación, $$ \frac{d^2}{dx^2} \sin{x} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)}= \sin{\left(x + \frac{2\pi}{2} \right)} $$ Prueba por inducción: Vamos a suponer que $$ \frac{d^k}{dx^k} \sin{x} = \sin{\left( x+ \frac{k\pi}{2} \right)} $$ para algunos enteros $k$. Ya hemos visto que esto es cierto para $k=0,1,2$. A continuación, tomamos $k$$k+1$: $$ \frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}} \sin{\left(x \right)}= \frac{d}{dx} \sin{\left( x+ \frac{k\pi}{2} \right)} = \cos{\left(x + \frac{k\pi}{2} \right)} $$ $$ = \sin{\left(x + \frac{\pi}{2} + \frac{k\pi}{2} \right)}= \sin{\left( x + \frac{(k+1)\pi}{2}\right)} $$ lo que demuestra que la hipótesis es correcta para los números enteros.