Espacio vectorial normado desigualdad $|\|x\|^2 - \|y\|^2| \le \|x-y\|\|x+y\|$

Question

Estoy mirando un antiguo examen de calificación, y la pregunta es para probar la desigualdad siguiente en cualquier espacio vectorial normado: $$ |\|x\|^2 - \|y\|^2| \le \|x-y\|\|x+y\| $ $

Mi pensamiento inicial fue que $$ |\|x\|^2 - \|y\|^2| = |(\|x\|+\|y\|)(\|x\|-\|y\|)|=\left|(\|x\|+\|y\|)\right||(\|x\|-\|y\|)|,$ $ y es fácil mostrar $|\|x\|-\|y\||$ es menos de tanto $\|x-y\|$ y $\|x+y\|$, pero no es cierto que $\|x\|+\|y\|$ menos que sea en general (por la desigualdad del triángulo es 'generalmente' más grande que éste), así que estoy seguro de qué hacer. Cualquier orientación se agradece.

Answer 1

Que $x=u+v$ y $y=u-v$, $$|\|x\|^2-\|y\|^2|=|\|u+v\|^2-\|u-v\|^2|=4|u^\top v|$ $ y luego vuelva a $u=\frac{x+y}{2}$ $v=\frac{x-y}{2}$ en la ecuación anterior y obtener $$4|u^\top v|=|(x+y)^\top (x-y)|\leq \|x+y\|\|x-y\|$ $ y la prueba es completa.

Answer 2

Se puede pensar w.l.o.g. que $\|x\|^2 \geq \|y\|^2$. Escriba $x = u + v$ y $y = u - v$. Ahora la desigualdad puede ser reescrita como $$ \|u + v\ | ^ 2 \leq 4 \|u\| \|v\| + \|u - v\ | ^ 2. $$ Pero esto es la desigualdad que se obtiene mediante la combinación de $\|u + v\|^2 \leq (\|u\| + \|v\|)^2$ y $|\|u\| - \|v\||^2 \leq \|u - v\|^2$.

Answer 3

Este es el caso del producto interior espacios:

El siguiente es válido para un espacio Vectorial sobre $\mathbb{R}$, porque yo uso el hecho de que $\langle a,b\rangle = \langle b,a\rangle.$ I asume que es el caso de que usted está interesado en, si usted necesita un caso más general, hágamelo saber.

Decir $\langle a ,b \rangle$ es el producto escalar en el espacio, de tal manera que $\|a\|=\sqrt{\langle a,a \rangle}$. Luego aviso

$$\|x-y\|^2 = \langle x-y,x-y \rangle = \|x\|^2 - 2\langle x,y\rangle +\|y\|^2 $$

$$\|x+y\|^2 = \langle x+y,x+y \rangle = \|x\|^2 + 2\langle x,y\rangle +\|y\|^2 $$

Así tenemos

$$(\|x-y\|\|x+y\|)^2 = \|x-y\|^2\|x+y\|^2 = \|x\|^4 + \|y\|^4 + 2\|x\|^2\|y\|^2 - 4\langle x,y\rangle^2 $$

Ahora por Cauchy-Schartz la desigualdad ($\langle x,y \rangle^2 \leq \|x\|^2\|y\|^2$) tenemos:

$$\|x\|^4 + \|y\|^4 + 2\|x\|^2\|y\|^2 - 4\langle x,y\rangle^2 \geq \|x\|^4 + \|y\|^4 - 2\|x\|^2\|y\|^2 = (\|x\|^2 - \|y\|^2)^2 $$

Así que al final hemos

$$(\|x-y\|\|x+y\|)^2 \geq (\|x\|^2 - \|y\|^2)^2$$

Por lo tanto

$$\|x-y\|\|x+y\| \geq \bigg|\|x\|^2 - \|y\|^2\bigg|$$

Answer 4

Tenga en cuenta que

$$\|x-y\|\geq \bigg|\|x\|-\|y\|\bigg| \hspace{2em} \textrm{and} \hspace{2em} \|x+y\|\geq \bigg|\|x\|-\|y\|\bigg| $$

multiplicando ambas desigualdades tenemos

$$\|x-y\|\|x+y\| \geq \bigg| \|x\|^2 + \|y\|^2 - 2\|x\|\|y\|\bigg| = \|x\|^2 + \|y\|^2 - 2\|x\|\|y\| $$