¿Cómo se genera la secuencia 1, 1,4, 1,41, 1,414?

Question

En muchos de los libros de texto estándar que tratan sobre los Números Reales, la secuencia de Cauchy que converge a $\sqrt{2}$ se da como

1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ...

o

2, 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, ...

Mi pregunta es ¿cómo se generan estas secuencias? En otras palabras, si tengo 1, 1,4, 1,41 ¿cómo puedo saber que el siguiente elemento de la secuencia es 1,414?

Answer 1

A continuación se presenta un ejemplo de un método que podrías utilizar para averiguarlo. El método se llama bisección. No es el más rápido, pero está claro cómo extraer dígitos de él porque tiene límites de error explícitos.

Usted sabe $1^2<2$ . Usted sabe $2^2>2$ . Así que $1<\sqrt{2}<2$ por lo que su primer dígito decimal es $1$ .

Usted comprueba $1.5^2>2$ . Usted comprueba $1.25^2<2$ . Usted comprueba $1.375^2<2$ . Usted comprueba $1.4375^2>2$ . Usted comprueba $1.40625^2<2$ . Ahora ya sabes $1.40625<\sqrt{2}<1.4375$ para que sepas que los dos primeros dígitos son $1.4$ .

Continúa: comprueba $1.421875^2>2$ . Usted comprueba $1.4140625^2<2$ . Usted comprueba $1.41796875^2>2$ . Así que $1.4140625<\sqrt{2}<1.41796875$ así que ya conoces los tres primeros dígitos decimales.

Puedes seguir adelante; en cada momento sabes $\sqrt{2}$ está entre dos números que se acercan, así que en cuanto esos números tienen un nuevo dígito en común, se sabe que ese dígito de $\sqrt{2}$ . En promedio, se necesita $\log_2(10) \approx 3.3$ pasos para obtener un nuevo dígito decimal correcto.

A costa de un poco más de iteraciones, puedes facilitar los cálculos (si lo haces a mano) redondeando el límite inferior hacia abajo y/o el límite superior hacia arriba. Por ejemplo, en el segundo párrafo de las iteraciones podrías haber dicho $1.4<\sqrt{2}<1.44$ y luego continuó, obteniendo $1.41<\sqrt{2}<1.415$ al final del tercer párrafo.

Answer 2

En general, sin más información no se puede producir un término de una secuencia utilizando sólo sus términos anteriores.

Sin embargo, se puede describir de dónde provienen estas dos secuencias particulares:

La primera viene de truncar la expansión decimal de $\sqrt{2}$ en cada decimal sucesivo. Se puede dar una fórmula explícita fácil para esto:

$$a_n := 10^{-n} \lfloor 10^n \sqrt{2} \rfloor .$$

La segunda es similar, pero en lugar de truncar, es decir, redondear hacia abajo el número más cercano cuya expansión decimal tiene $\leq n$ dígitos, uno se redondea:

$$a_n := 10^{-n} \lceil 10^n \sqrt{2} \rceil .$$

Hay infinitas más secuencias de Cauchy con límite $\sqrt{2}$ . Uno utiliza el llamado Método babilónico que es a su vez una especialización del método de Newton. En este caso los términos se definen iterativamente, por $$a_n := \frac{1}{2}\left(a_{n - 1} + \frac{2}{a_{n - 1}}\right) ,$$ donde podemos tomar $a_0$ para ser cualquier valor adecuado. Tomando el valor conveniente $a_0 = 2$ da la secuencia $$2, \frac{3}{2}, \frac{17}{12}, \frac{577}{408}, \ldots ,$$ que converge con relativa rapidez.

Answer 3

No los números de la pregunta, sino la integral

$$\int_0^1 \frac{x^m(1-x)^n}{\sqrt{1+x}}dx$$

produce aproximaciones racionales a $\sqrt{2}$ desde arriba para $m$ impar y desde abajo para $m$ incluso.

Algunas de las aproximaciones para pequeños $m,n$ incluye

$$\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x}}dx =\sqrt{2} -1 $$ $$\frac{3}{2}\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1+x}}dx = 2 - \sqrt{2}$$ $$\frac{3}{8}\int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{1+x}}dx = \sqrt{2}-\frac{5}{4}$$ $$\frac{5}{8}\int_0^1 \frac{x(1-x)}{\sqrt{1+x}}dx=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$$

$$\frac{21}{64}\int_0^1 \frac{x(1-x)^2}{\sqrt{1+x}}dx=\frac{23}{16}-\sqrt{2}$$

$$\frac{315}{832}\int_0^1 \frac{x^2(1-x)^2}{\sqrt{1+x}}dx = \sqrt{2}-\frac{73}{52}$$

Otra forma de obtener aproximaciones que converjan a $\sqrt{2}$ viene de establecer $x=1$ en la expansión para $\sqrt{1+x}$ , lo que da como resultado

$$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{5}{128}+\frac{7}{256}...$$

Esta ampliación y muchos más métodos pueden encontrarse en La constante de Pitágoras: $\sqrt{2}$ por Gourdon y Sebah. Por ejemplo, el ejemplo 9, debido a Euler,

$$\sqrt{2}=\frac{7}{5}\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2 200^n}$$

produce exactamente $1.4, 1.414, 1.41421$ al truncar a $1, 2$ y $3$ términos, y proporciona unos dos dígitos decimales correctos por término.

Por último, el Fracción egipcia descrita en la Wikipedia puede escribirse en forma cerrada utilizando la fórmula de Paolo Lava para la secuencia https://oeis.org/A082405 .

$$\sqrt{2}=\frac{3}{2}-\sum_{k=0}^\infty \frac{2\sqrt{2}}{(17+12\sqrt{2})^{2^k}-(17-12\sqrt{2})^{2^k}}$$

Las primeras aproximaciones producidas son $$\frac{3}{2},\frac{17}{12},\frac{577}{408},\frac{665857}{470832}, \frac{886731088897}{627013566048},\frac{1572584048032918633353217}{1111984844349868137938112},$$

por lo que puede ser una forma equivalente en serie de la iteración de Newton.

Answer 4

La forma rápida y sensata de encontrar aproximaciones a $\sqrt2$ es utilizar el antiguo método babilónico ilustrado en la respuesta de Travis. Otra forma de hacerlo es utilizar fracciones continuas . La representación de la fracción continua de $\sqrt2$ es muy simple. De hecho, todos los números irracionales cuadráticos tienen representaciones de fracciones continuas que acaban repitiéndose.

Las evaluaciones parciales de una fracción continua se llaman sus convergentes. Sea $x$ sea un número irracional y que $p/q$ sea uno de sus convergentes. Entonces $p/q$ es la mejor aproximación racional a $x$ para un denominador en la vecindad de $q$ siendo el error $k/q^2$ , donde $k$ es un número entero pequeño ( $k$ a menudo puede ser 1). En cambio, si $p/q$ es no a convergente, esperamos que el error sea del orden de $k/q$ .

Para encontrar la representación de la fracción continua de $\sqrt2$ podemos proceder de la siguiente manera.

Dejemos que $x = \sqrt2$
Entonces \begin {align} x^2-1 & = 1 \\ (x+1)(x-1) & = 1 \\ x-1 & = \frac {1}{1+x} \\ x & = 1 + \frac {1}{1+x} \\ \end {align}

Ahora podemos sustituir esa fracción por $x$ en sí mismo:

$$x = 1 + \frac{1}{1+1 + \frac{1}{1+x}}$$ $$x = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1+x}}$$

Y, por supuesto, podemos repetir el proceso:

$$x = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2+\frac{1}{2 + \frac{1}{1+x}}}}$$

Si continuamos este proceso indefinidamente los 2s se seguirán repitiendo. La forma compacta de escribir esto es $[1;2,2,2,…]$ .

Para obtener los convergentes evaluamos la fracción continua desde el principio, ignorando los términos posteriores. Esto nos da

$$\frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \frac{239}{169}, \frac{577}{408}, \frac{1393}{985}, \frac{3363}{2378}, \dots$$

Deberías ser capaz de ver un patrón simple en los numeradores y denominadores. Hagamos explícito ese patrón. Sabemos que si $x = \sqrt 2$ entonces

\begin {align} x = 1 + \frac {1}{1+x} \\ x = \frac {x+2}{x+1} \end {align}

Ahora dejemos que $x = p/q$ sea una aproximación racional a $\sqrt 2$ y que $p'/q'$ sea la siguiente aproximación. \begin {align} \frac {p'}{q'} = \frac { \frac {p}{q}+2}{ \frac {p}{q}+1} \\ \frac {p'}{q'} = \frac {p+2q}{p+q} \end {align} Así $p' = p+2q$ y $q' = p+q$

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Podemos hacer esto un poco más riguroso. $\left(\frac{p}{q}\right)^2 \approx 2$ y de hecho para los convergentes mostrados anteriormente, $p^2 - 2q^2 = \pm 1$ Por lo tanto $$\left(\frac{p}{q}\right)^2 = 2 \pm \frac{1}{q^2}$$

Dejemos que $p' = p+2q$ y $q' = p+q$
Entonces \begin {align} p'^2 - 2q'^2 & = (p+2q)^2 - 2(p+q)^2 \\ & = p^2 + 4pq + 4q^2 - 2p^2 - 4pq - 2q^2 \\ & = -p^2 + 2q^2 = -(p^2 - 2q^2) \\ p'^2 - 2q'^2 & = \mp 1 \end {align}

Así que si $\frac{p}{q}$ es una buena aproximación a $\sqrt 2$ entonces $\frac{p'}{q'}$ también es una buena aproximación a $\sqrt 2$ y es mejor que $\frac{p}{q}$ porque $q' > q$ . (Esto es esencialmente una prueba por inducción).

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Podemos factorizar $p^2 - 2q^2 = (p + \sqrt 2 q)(p - \sqrt 2 q) = \pm 1$

Sustituyendo $p=1, q=1$ de nuestro primer convergente, obtenemos $$(1 + \sqrt 2)(1 - \sqrt 2) = -1$$

Elevando ambas partes al poder de $n$ : $$(1 + \sqrt 2)^n(1 - \sqrt 2)^n = (-1)^n$$

Ahora $$(p + \sqrt 2 q)(1 + \sqrt 2) = (p + 2q) + \sqrt 2(p + q) = p' + \sqrt 2 q'$$

Así que podemos escribir $p_n + \sqrt 2 q_n = (1 + \sqrt 2)^n$ donde cada número entero $n \ge 1$ nos da una convergencia $\frac{p_n}{q_n}$ . Si dejamos que $n$ tomar en sucesivas potencias de 2 entonces obtenemos las aproximaciones encontradas por el método babilónico.

$$p_{2i} + \sqrt 2 q_{2i} = (p_i + \sqrt 2 q_i)^2\\ = (p_i^2 + 2q_i^2) + \sqrt 2 2 p_i q_i$$

También mencionaré sin pruebas que $p_{i+2} = 2p_{i+1} + p_i$ y $q_{i+2} = 2q_{i+1} + q_i$ . Tenga en cuenta que $p_i$ es siempre impar, y cuando $i$ es impar, también lo es $q_i$ . Dejemos que $p = 2a + 1$ . Cuando $q$ es impar, $a^2+(a+1)^2=q^2$ Cuando $q$ está en paz, $a^2+(a+1)^2=q^2+1$ .

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Por cierto, aquí hay un corto script de Python que calcula y prueba estos convergentes. (Este código funciona tanto en Python 2 como en Python 3).

from __future__ import print_function, division

p, q = 1, 1
print(' i:     p     q -> x   x*x')
fmt = '{0:2}: {1:5} {2:5} -> {3} {4}'
for i in range(1, 14):
    x = p / q
    print(fmt.format(i, p, q, x, x * x))
    p, q = p + 2 * q, p + q

salida

 i:     p     q -> x   x*x
 1:     1     1 -> 1.0 1.0
 2:     3     2 -> 1.5 2.25
 3:     7     5 -> 1.4 1.96
 4:    17    12 -> 1.41666666667 2.00694444444
 5:    41    29 -> 1.41379310345 1.99881093936
 6:    99    70 -> 1.41428571429 2.00020408163
 7:   239   169 -> 1.41420118343 1.99996498722
 8:   577   408 -> 1.41421568627 2.0000060073
 9:  1393   985 -> 1.41421319797 1.99999896931
10:  3363  2378 -> 1.41421362489 2.00000017684
11:  8119  5741 -> 1.41421355165 1.99999996966
12: 19601 13860 -> 1.41421356421 2.00000000521
13: 47321 33461 -> 1.41421356206 1.99999999911

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Por último, aquí hay un código que utiliza la aritmética de enteros (grandes) y el método babilónico para producir los dígitos decimales de $\sqrt 2$ .

x = t = 1
for n in range(15):
    s = 10 * t
    x = 5 * x + (t * s) // x
    t = s
    print(x, x*x, (x+1)**2)   

salida

15 225 256
141 19881 20164
1414 1999396 2002225
14142 199996164 200024449
141421 19999899241 20000182084
1414213 1999998409369 2000001237796
14142135 199999982358225 200000010642496
141421356 19999999932878736 20000000215721449
1414213562 1999999998944727844 2000000001773154969
14142135623 199999999979325598129 200000000007609869376
141421356237 19999999999912458800169 20000000000195301512644
1414213562373 1999999999999731161391129 2000000000002559588515876
14142135623730 199999999999973116139112900 200000000000001400410360361
141421356237309 19999999999999857198323561481 20000000000000140041036036100
1414213562373095 1999999999999999861967979879025 2000000000000002690395104625216

Answer 5

Otras respuestas dan eficiente formas de encontrar términos adicionales de la secuencia de Cauchy, o secuencias que pueden ser mejores que la serie de Cauchy a efectos prácticos.

Pero en lo que a mí respecta, la secuencia de Cauchy no tiene nada que ver con los cálculos prácticos. Es simplemente una forma de definir los números reales o (si prefieres los cortes de Dedekind como definición) una forma de justificar las representaciones decimales infinitas de los números reales.

Las secuencias de Cauchy $1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,\ldots$ y $2, 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, \ldots$ están bien definidos porque después de cada paso se han reducido los posibles valores de $\sqrt2$ a un intervalo de anchura $10^{-n}$ para algún número entero $n,$ y para el siguiente paso se dice cuál de los $10$ subdivisiones iguales de ese intervalo contiene $\sqrt2.$

Como el punto aquí es simplemente que hay una respuesta, no que sabemos cómo encontrarla rápidamente, puedes apelar a la "fuerza bruta". Por ejemplo, después de las secuencias de Cauchy superior e inferior alrededor de $\sqrt2$ alcanzar los términos $1.414$ y $1.415,$ respectivamente, el siguiente término de cada secuencia tiene que proceder del siguiente conjunto:

$$\{1.4140, 1.4141, 1.4142, 1.4143, 1.4144, 1.4145, 1.4146, 1.4147, 1.4148, 1.4149, 1.4150\}.$$

Sólo se necesita un número finito de pasos para elevar al cuadrado todos estos valores y averiguar cuáles son menores que $\sqrt2$ y cuáles son mayores. (Ya conoces dos de los cuadrados, así que sólo tienes que calcular los otros nueve). Una vez hecho esto, encuentras que $1.4142^2 < 2 < 1.4143^2,$ así que $\sqrt2$ está entre $1.4142$ y $1.4143,$ que son, por tanto, los siguientes términos de las secuencias inferior y superior, respectivamente.

Todo lo demás es optimización de los cálculos.