¿Considerar $$B := \left\{u \in C^2([0, 1]) : \sum_{i=0}^2 \sup_{x \in [0, 1]} \left|u^{(i)}(x)\right| \le 1\right\}$$as a subset of $C ^ 1 ([0, 1]) $. How do I see that it is compact in $C ^ 1 ([0, 1]) $?
Respuesta
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Justpassingby
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No, no. Usted puede construir una secuencia de funciones que converge a otra función (fuera de $B$) en la norma de $C^1[0,1].$
Empezar con el bloque de función $f$$0$$[0,1/2)$$1$$[1/2,1]$. No te preocupes que esta función está fuera de todos los espacios bajo consideración; es suficiente con que es acotada.
Considere la posibilidad de una secuencia $(f_n)_n$ de no negativa continua (no necesariamente diferenciable) funciones que converge pointwise a $f$ desde abajo, es decir, $0\leq f_n(x)\leq f_{n+1}(x)\leq f(x).$
Ahora el doble de funciones primitivas de la $f_n$ pertenecen todos a $B$ y convergen a la doble función primitiva de $f$ en la norma de $C^1[0,1].$
Así que tenemos una secuencia infinita en $B$ que no tiene ningún convergente subsecuencias (en $B$) en la norma de $C^1[0,1];$ por lo tanto $B$ no puede ser compacto en la norma de $C^1[0,1].$
