Demuestra que $\sum_{n=0}^\infty \frac{\sin {nx}}{a^n} = \frac{a \sin{x}}{1 + a^{2} - 2a \cos{x}}$

Question

Demuestra que $$\sum_{n=0}^\infty \frac{\sin {nx}}{a^n} = \frac{a \sin{x}}{1 + a^{2} - 2a \cos{x}}$$

He estado tratando de usar la regla de la serie geométrica para $\sum_{n=0}^\infty x^{-n} = \frac{x}{x -1}$ así como Euler para el $\sin(nx)$ pero no consigo que la serie se reduzca a la fracción de la derecha. ¿Podríais ayudarme?

Answer 1

Mira la parte imaginaria de $$\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{\exp(inx)}{a^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{\exp(ix)}{a} \right)^n = \dfrac{a}{a-\exp(ix)}$$